二进制与十进制转换公式?
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发布时间：2022-04-24 19:11
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时间：2023-10-05 10:56
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一、常用的三种计数制
1、十进制（Decimal）
十进制的基数是10，它有10个不同的数字符号，即0、1、2、3、…、9。它的计数规律是“逢十进一”或“借一当十”。处在不同位置的数字符号具有不同的意义，或者说有着不同的“权”。所谓的“权”就是每一位对其基数具有不同的倍数。例如，一个十进制数为
123．45=1*102+2*101+3*100+4*10-1+5*10-2
等号左边为并列表示法，等号右边为多项式表示法，显然这两种表示法表示的数是等价的。在右边多项式表示法中，1、2、3、4、5被称为系数项，而102、101、100、10-1、10-2等被称为该位的“权”。
一般来说，任何一个十进制数”都可以采用并列表不法表不如下：
N10=dn-1d
n-2…d1d0.
d-1d-2…d-m
其中，下标n表示整数部分的位数，下标m表示小数部分的位数，d是0~9中的某一个数，即di∈（0，1，…，9）。同样，任意一个十进制数N都可以用多项式表示法表示如下：
N10=dn-1*10n-1+…+d1*101+d0*100+d-1*10-1+…+d-m*10m
其中，m、n为正整数，di
表示第i位的系数，10i
称为该位的权。所以某一位数的大小是由各系数项和其权值的乘积所决定的。
2、二进制（Binary）
二进制的基数是2，它只有两个数字符号，即0和1。计算规律是“逢二进一”或“借一当二”。例如：
（101．01）2=1*23+1*22+0*21+1*20+0*2-1+1*2-2
任何一个二进制数N都可以用其多项式来表示：
N2=dn-1*2n-1+dn-2*2n-2+…+d1*21+d0*20+d-1*2-1+d-2*2-2+…+d-m*2-m
式中任何一位数值的大小都可以用该位的系数项
di
和权值
2i
的积来确定。
3、十六进制（Hexadecimal）
十六进制的基数为16，它有16个数字符号、即0~9、A~F。其中
A、B、C、D、E、F
分别代表十进制数的10、11、12、13、14、15。各位之间“逢十六进一”或者“借一当十六”。各位的权值为
16i。例如：
（2C7.1F）16=2*162+12*161+7*160+1*16-1+15*16-2
二、3种计数制之间的相互转换
对于同一个数，可以采用不同的计数制来表示，其形式也不同。如：
（11）10=（1011）2=（B）16
1、R
进制转换成十进制的方法
具体的方法是先将其并列形式的数写成其多项式表示形式，然后，经计算后就可得到其十进制的结果。这种方法披称为按权展开法。对于一个任意的R进制数N都可以写成如下形式：
N
=
dn-1
dn-2…d1
d0d-1d-2…d-m
=
dn-1*Rn-1+…+d1*R1+d0*R0+d-1*R-1+…+d-m*R-m
其中，R
为进位基数，Ri
是对应位的权值，di
为系数项，特此式求和计算之后，即可以完成
R
进制数对十进制数的转换。
例如，写出（1101.01）2、（10D）16的十进制数。
（1101.01）2=1*23+1*22+0*21+1*20+0*2-1+0*2-2
=8+4+1+0.25
＝13.25
（10D）16=1*162+0*161+13*160
=
256＋13
=
269
2、十进制转换成二进触方法
十进制数转换成二进制数一般分为两个步骤，即整数部分的转换和小数部分的转换。
（1）整数部分的转换
除2取余法：这种方法是由于
D10=N2=dn-1*2n-1+dn-2*2n-2+…d1*21+d0*20，所以具体方法是把给定的十进制整数除以2，取其余数作为二进制整数最低位的系数
do，然后继续将整数部分除以2，所得余数作为二进制整数次低位的系数
d1，一直重复下去，最后可以得到二进制整数部分。
例如，将（327）10转换成二进制数。
327
余数
各项系数
除以2=
163
...
1
d0
...
81
...
1
d1
...
40
...
1
d2
...
20
...
0
d3
...
10
...
0
d4
...
5
...
0
d5
...
2
...
1
d6
...
1
...
0
d7
...
0
...
1
d8
所以，（327）10=d8
d7
d6
d5
d4
d3
d2d1
d0=（101000111）2。
此方法可扩展为陈
R
取余法。如将
R
设为16，则可将十进制整数转变为十六进制整数。
减权定位法：因为
D10=N2=dn-1*2n-1+dn-2*2n-2+…d1*21+d0*20，所以二进制多项式中的每一项都有自己的权值。若该项系数值为
di=0，则该项值为0，否则
di
应为1。根据这一对应关系，可提出减权定位的转换方法：将十进制数依次从二进制高位权值进行比较：若够减则对应位
di=1，减去该位权值后再往下比较；若不够减则对应值
di=0，越过该位与低一位的权值比较，如此进行直到余数为0为止。
例如，将（327）10转换成二进制数。因为512（29）>
327
>
256（28），所以从权值256对应值开始比较。
减权比较
di
位权
327-256=71
1
28
71<128
0
27
71-64=7
1
26
7<32
0
25
7<16
0
24
7<8
0
23
7-4=3
、
22
3-2=1
1
21
1-1=0
1
20
所以，（327）10＝（101000111）2。
（2）小数部分的转换
转换的方法是采用乘2取整数表示法。由于
D10=d-1*2-1+d-2*2-2+…d-m*2-m，所以具体方法是把给定的十进制小数乘以2，取其整数部分作为二进制小数的小数点后的第一位系数；然后再将乘积的小数部分继续乘以2，取所得积的整数部分作为小数后的第二位系数；依次重复做下去，就可以得到二进制小数部分。
例如，将（0．8125）
10。转换成二进制小数。
整数部分
系数部分
2*0.8125=1.625
1
d-1=1
2*0.625=1.25
1
d-2=1
2*0.25=0.5
0
d-3=0
2*0.5=1.0
1
d-4=1
所以，（0.8125）10=d0
d-1
d-2
d-3
d-4=（0.1101）2。
在计算中可以按照所需的小数点位数，取其结果位近似值。
此方法可以扩展为乘R取整法．如将R变为16，则可将十进制小数部分直接变为十六进制小数。
3、二进制与十六进制的转换
（1）二进制转换成十六进制
4位二进制数的所有组合可表示十六进制数的16个代码，它们之间的对应关系如下：
二进制
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
二进制
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
十六进制
8
9
A
B
C
D
E
F
进制转换的具体方法：从小数点开始，分别向左、向右，每4位二进制数为一组用十六进制数值来书写。若小数点左侧位数不是4的倍数，则最左侧用0补充；若小数点右侧位数不是4的倍数，则最右侧用0补充。
例如，（110110111.01101）2=（0001
1011
0111.0110
1000）2
=（1B7.68）16。
（2）十六进制转换成二进制
具体的转换方法是：将每个十六进制数用4位二进制数来书写，转化后最左侧或者最右侧的0在书写的时候可以省去。例如：
（7AC.DE）16=（111
1010
1100.1101
111）2
例1：把（5／16）10转换成二进制数。
解：5／16=5×2-4=（101
2*（0.0001）2=（0.0101）2
小数点向左移4位等于乘以2-4。
例2：把（19．125）
10转换成二进制数、十六进制数。
解：首先把整数部分（19）10转换成二进制数：
（19）10=16+2+1=24+21+20=（10011）2
再把小数部分（0．125）10转换成二进制数：
0.125*2=0.25
0
0．25*2=0.5
0
0．5*2=1
1
所以，（0.125）10=（0.001）
2。
把整数与小数部分合起来结果为
（19.125）10=（10011.001）2=（13.2）16
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时间：2023-10-05 10:58
十进制的基数是10，它有10个不同的数字符号，即0、1、2、3、…、9。它的计数规律是“逢十进一”或“借一当十”。处在不同位置的数字符号具有不同的意义，或者说有着不同的“权”。所谓的“权”就是每一位对其基数具有不同的倍数。例如，一个十进制数为
123．45＝1×102十2×101十3×100十4×10-1十5×10-2
等号左边为并列表示法．等号右边为多项式表示法，显然这两种表示法表示的数是等价的。
在右边多项式表示法中，1、2、3、4、5被称为系数项，而102、101、100、10-1、10-2等被称为该位的“权”。
一般来说，任何一个十进制数”都可以采用并列表不法表不如下：
N10＝dn-1d n-2…d1d 0. d-1d-2…d-m
其中，下标n表示整数部分的位数，下标m表示小数部分的位数，d是0~9中的某一个数，即di∈(0，1，…，9)。同样，任意一个十进制数N都可以用多项式表示法表示如下：
N10＝dn-1×10n-1十…十d1×101十d 0×100十d-1×10-1十…十d-m×10-m
其中，m、n为正整数，di表示第i位的系数，10i称为该位的权。所以某一位数的大小是由各系数项和其权值的乘积所决定的。
2.二进制
二进制的基数是2，它只有两个数字符号，即0和1。计算规律是“逢二进一”或“借一当二”。例如：
(101．01)2＝1×23十1×22十0×21十1×20十0×2－1十1×2－2
任何一个二进制数N都可以用其多项式来表示：
N2 ＝dn-1×2n-1十dn-2×2n-2十…十d1×21十d 0×20十d-1×2-1十d-2×2-2十…十d-m×2-m
式中任何一位数值的大小都可以用该位的系数项di和权值2i的积来确定。
