依概率收敛问题的证明
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发布时间：2023-06-30 21:46
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时间：2024-12-12 02:02
E(Y)=1/n*∑{i=1,n}E(X{i}²)= E(X{i}²)=D(X{i})+ E(X{i})²=σ²
D(Y)=1/n²*∑{i=1,n}D(X{i}²)=1/n* D(X{i}²)=1/n*{ E(X{i}⁴)-[ E(X{i}²)]²}
∵E(X{i}⁴<∞，∴E(X{i}⁴有界，故E(X{i}⁴≤M，M为常数
再由切比雪夫不等式，对任意ε>0，有
0≤P{|Y-E(Y)|≥ε}≤D(Y)/ε²，即
0≤P{|Y-σ²|≥ε}≤1/n*{ E(X{i}⁴)-[ E(X{i}²)]²}/ε²
≤1/n*(M-σ⁴)/ε²
而lim{n→∞}1/n*(M-σ⁴)/ε²=0
由夹*定理可知，lim{n→∞}P{|Y-σ²|≥ε}=0
即Y=1/n*∑{i=1,n}X{i}²依概率收敛于σ²追问
