几何五大模型
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发布时间：2022-04-24 06:16
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时间：2023-10-08 17:45
一、等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型
（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。）
四、相似三角形模型
相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型
图片
bf:fc=bfd:fdc=abd:adc
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时间：2023-10-08 17:45
⑴等底等高的两个三角形面积相等；
其它常见的面积相等的情况
⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图
⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图 ；
反之，如果 ，则可知直线 平行于 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；
⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
二、鸟头定理（共角定理）模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在 中， 分别是 上的点(如图1)或 在 的延长线上， 在 上(如图2)，则
图1 图2
三、蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
① 或者 ②
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
①
② ；
③梯形 的对应份数为 。
四、相似模型
相似三角形性质：
金字塔模型 沙漏模型
① ；
② 。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型
S△ABG S△AGC S△BGE S△EGC BE EC
S△BGA S△BGC S△AGF S△FGC AF FC
S△AGC S△BCG S△ADG S△DGB AD DB
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时间：2023-10-08 17:45
（二）鸟头定理（共角定理）模型
（三）蝴蝶定理模型 例题与练习
（四）相似模型 例题
（五）燕尾定理模型 例题与练习
鸟头定理 即共角定理：
若两三角形有一组对应角相等或互补，则它们的面积比等于对应角两边乘积的比。
燕尾定理 即共边定理的一种。
有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
共边定理：设直线AB与PQ交与M则 S△PAB/S△QAB=PM/QM
这几个定理大都利用了相似图形的方法，但小学阶段没有学过相似图形，而小学奥数中，常常要引入这些，实在有点难为孩子。
为了避开相似，我们用相应的底，高的比来推出三角形面积的比。
例如燕尾定理，一个三角形ABC中，D是BC上三等分点，靠近B点。连接AD，E是AD上一点，连接EB和EC，就能得到四个三角形。
很显然，三角形ABD和ACD面积之比是1：2
因为共边，所以两个对应高之比是1：2
而四个小三角形也会存在类似关系
三角形ABE和三角形ACE的面积比是1：2
三角形BED和三角形CED的面积比也是1:2
所以三角形ABE和三角形ACE的面积比等于三角形BED和三角形CED的面积比，这就是传说中的燕尾定理。
以上是根据共边后，高之比等于三角形面积之比证明所得。
必须要强记，只要理解，到时候如何变形，你都能会做。至于鸟头定理，也不要死记硬背，掌握原理，用起来就会得心应手。
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时间：2023-10-08 17:46
