老师的一道高一数学题,求解
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发布时间：2023-06-23 08:49
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热心网友
时间：2024-11-24 03:50
关键要想到平面相互平行的判定定理：
定理1：一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两个平面相互平行。
还有要用到的定理：
定理2：两个平面相互平行，则其中一个平面内的任意一条直线，与另一个平面平行；
定理3：两个平面相互平行，则平行于其中一个平面的位于两个平面之外的直线，也平行于另外一个平面。
定理4：平面外一条直线平行于平面内的一条直线，则该直线平行于该平面。
另外，证明中没有证明MN与A‘C’，B‘D’在一个平面内，也是不完善的。
其实，老师做的辅助线已经提示出了证明的正确办法，只是没有充分利用。
在平面β中，做直线BE平行且等于AC，连接CE，DE，CE的中点为C‘，连接MC’，NC'：
MNC'组成一个三角形，只要证明到MNC'平行于α，β，MN就肯定平行时α，β。
在MNC'中找出两条相交直线与α平行即可。
在三角形CDE中，N为CD中点，C‘为CE中点，NC’为CDE的中位线，NC'平行于DE，根据上面定理4，NC'平行于β；根据定理3，NC‘也平行于α。
根据作法，BECA是对边平行且相等的四边形，是平行四边形。（定理5：两个对边平行且相等的四边形，为平行四边形），M是AB中点，C’是CE中点，MC‘是平形四边形的中位线，MC’平行于AC，由定理4，MC‘平行于α。
MC’，NC'都平行于α，根据定理1，MNC‘平行于α，再根据定理2，MN平行于α。
似乎已经证明了。但是细心的人还会有疑问。能在β内过B点作直线BE平行且等于AC吗？
等于没问题，我们将他们取一样长就行了。
平行，也可以。根据几何学公理，过直线外一点，可以并且只能作一条直线平行于另外一条直线。（平行公理）
这条线在平面β内吗？
用反证法。B在β内，如果BE不在β内，必然E不在β内（定理6：一条直线有两点在一平面内，直线上所有点都在这个平面内，直线在这个平面内。）
AC平行且等于BE，（定理7：两条平行线决定一个平面。）ACBE是一个平面，延长CE与β交于E’点，这是可以的，CE不会与β平行，否则根据定理1，ACBE平行于β。CE不平行于β，必可与β相交。连接BE‘，E‘在直线CE上，也在ACBE平面内，E’又在β内，B也在β内因此BE‘在β内。根据定理2，BE’平行于α，AC在α内，因此BE'与AC不会有交点。同时AC与BE‘又在同一平面ACBE内，平行的定义：同一平面内的两条不同直线，不相交，就是相互平行。因此AC与BE’也平行。
如此，从同一点，作出了一条直线的两条平行线，与平行公理矛盾。因此BE与BE'应该重合，BE‘在β内，BE也在β内。
热心网友
时间：2024-11-24 03:51
连接MF，NF；则MNF为一平面；
MF//BD NF//AC
在β平面上取A'C'//AC 则NF//A'C'
所以MNF//β 则MN//β;
MN//α
