几何求证题
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发布时间：2023-06-23 16:32
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时间：2024-11-19 16:32
1、过M做AB垂线MP交AB延长线于P
∠BAD的平分线AM，∠BAD=RT∠
所以：∠AMP=∠MAP=45°
因BC平行MP
有∠ECB=∠EMP=∠CDB=∠CAB
所以：∠EMP-∠AMP=∠CAB- ∠MAP
所以：∠MAC=∠AMC
所以：CM =AC=BD
2、证明：过D作DG//CF交AB于G
∵DG//CF
∴∠DGB=∠CFB，∠DGA=∠EFA
又∵∠DBG=∠CBF，∠DAG=∠EAF
∴△DBG∽CBF，△DAG∽△EAF
∴BG:BF=BD:BC(即GF:BF=DC:BC)，GA:FA=DA:EA(即GF÷FA=DE÷EA)
∵AD是△ABC的中线
∴D为BC的中点
∴BD=DC，即DC:BC=1:2
∴GF:BF=1:2，即BF÷GF=2
必有(BF÷GF)×(GF÷FA)×(FA÷BF)=(BF÷BF)×(GF÷GF)×(FA÷FA)=1
把BF÷GF=2和GF÷FA=DE÷EA代入，替换BF÷GF和GF÷FA，得：
2×(DE÷EA)×(FA÷BF)=1
上式变形可得
2×(FA÷BF)=EA÷DE
即AE:ED=2AF:FB
得证
3、详解如下图：
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时间：2024-11-19 16:33
证明：过A点作AF⊥BD于F
∵矩形ABCD
∴AC＝BD，OA＝ AC，OD＝ BD
∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA
∵∠BAD＝90°，AF⊥BD
∴∠BAF＋∠ABD＝90°
∠ADB＋∠ABD＝90°
∴∠BAF＝∠ADB（同角的余角相等）
∴∠BAF＝∠OAD
∵∠BAM＝∠DAM
∴∠BAM－∠BAF＝∠DAM－∠OAD
即 ∠1＝∠2
又∵ME⊥BD，AF⊥BD
∴AF‖ME
∴∠2＝∠M
∴∠1＝∠M
∴AC＝CM
∴BD=CM
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时间：2024-11-19 16:33
∵CE⊥BD，∴∠BCE+∠CBE=90°，而∠CBE+∠ABD=90°，∴∠BCE=∠ABD，∴∠MCF=∠DBG
∵AM平分∠BAD，∴∠BAF=(1/2)∠BAD=45°，∴△ABF为等腰直角三角形，∴AB=BF，又BG=FC，∴AB+BG=BF+FC，即AG=BC=AD，∴△ADG也为等腰直角三角形，∴∠G=45°。而∠CFM=∠AFB=45°，∴∠G=∠CFM
再加上BG=CF
有△DBG≌△MCF，∴CM=BD
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时间：2024-11-19 16:34
证明：设AM与BC交于F，延长AB至G，使BG=FC，连结DG
∵CE⊥BD，∴∠BCE+∠CBE=90°，而∠CBE+∠ABD=90°，∴∠BCE=∠ABD，∴∠MCF=∠DBG
∵AM平分∠BAD，∴∠BAF=(1/2)∠BAD=45°，∴△ABF为等腰直角三角形，∴AB=BF，又BG=FC，∴AB+BG=BF+FC，即AG=BC=AD，∴△ADG也为等腰直角三角形，∴∠G=45°。而∠CFM=∠AFB=45°，∴∠G=∠CFM
再加上BG=CF
有△DBG≌△MCF，∴CM=BD
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时间：2024-11-19 16:35
∵矩形ABCD
∴AC＝BD，OA＝ AC，OD＝ BD
∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA
∵∠BAD＝90°，AF⊥BD
∴∠BAF＋∠ABD＝90°
∠ADB＋∠ABD＝90°
∴∠BAF＝∠ADB（同角的余角相等）
∴∠BAF＝∠OAD
∵∠BAM＝∠DAM
∴∠BAM－∠BAF＝∠DAM－∠OAD
即 ∠1＝∠2
又∵ME⊥BD，AF⊥BD
∴AF‖ME
∴∠2＝∠M
∴∠1＝∠M
∴AC＝CM
∴BD=CM
2.证明：过D作DG//CF交AB于G
∵DG//CF
∴∠DGB=∠CFB，∠DGA=∠EFA
又∵∠DBG=∠CBF，∠DAG=∠EAF
∴△DBG∽CBF，△DAG∽△EAF
∴BG:BF=BD:BC(即GF:BF=DC:BC)，GA:FA=DA:EA(即GF÷FA=DE÷EA)
∵AD是△ABC的中线
∴D为BC的中点
∴BD=DC，即DC:BC=1:2
∴GF:BF=1:2，即BF÷GF=2
必有(BF÷GF)×(GF÷FA)×(FA÷BF)=(BF÷BF)×(GF÷GF)×(FA÷FA)=1
把BF÷GF=2和GF÷FA=DE÷EA代入，替换BF÷GF和GF÷FA，得：
2×(DE÷EA)×(FA÷BF)=1
上式变形可得
2×(FA÷BF)=EA÷DE
即AE:ED=2AF:FB
得证
热心网友
时间：2024-11-19 16:35
∵ABCD是矩形
∴AC=BD,OD=OA,∠BAD=90°
∴∠ODA=∠OAD, ∠COE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD
∵AM是角平分线
∴∠MAD=∠BAD/2=45°
∴∠OAD=∠MAD-∠CAM=45°-∠CAM, ∠COE=2(45°-∠CAM)=90°-2∠CAM
∴2∠CAM+∠COE=90°
∵EM⊥BD
∴∠ACE+∠COE=90°
∴∠ACE=2∠CAM
∵∠ACE=∠CAM+∠CMA
∴∠CAN=∠CMA, CA=CM
∴CM=BD
