初中数学中考难题
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发布时间：2022-04-24 06:12
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时间：2023-11-02 09:45
【课标要求】
考点课标要求知识与技能目标
了解理解掌握灵活应用
二次函数理解二次函数的意义∨
会用描点法画出二次函数的图像∨
会确定抛物线开口方向、顶点坐标和对称轴∨
通过对实际问题的分析确定二次函数表达式∨∨
理解二次函数与一元二次方程的关系∨
会根据抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的图像来确定a、b、c的符号∨∨
【知识梳理】
1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.
2.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 .
3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .
4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
5.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直线 .
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
6.抛物线 中， 的作用
（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.
（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线
，故：① 时，对称轴为 轴；② （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.
（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.
当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：
① ，抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴；③ ,与 轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .
7.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.
（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .
12.直线与抛物线的交点
（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).
（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).
（3）抛物线与 轴的交点
二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 抛物线与 轴相交；
②有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；
③没有交点 抛物线与 轴相离.
（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.
（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; ②方程组只有一组解时 与 只有一个交点；③方程组无解时 与 没有交点.
（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于 、 是方程 的两个根，故
【能力训练】
1．二次函数y=－x2＋6x－5，当 时， ，且 随 的增大而减小。
2.抛物线 的顶点坐标在第三象限，则 的值为（ ）
A． B． C． D． ．
3．抛物线y=x2－2x＋3的对称轴是直线（ ）
A．x =2 B．x =－2 C．x =－1 D．x =1
4． 二次函数y=x2+2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3 B．5 C．－3和5 D．3和－5
5．抛物线y=x2－x的顶点坐标是（ ）
6．二次函数 的图象，如图1－2－40所示，根据图象可得a、b、c与0的大小关系是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0
7．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3．5 t－4．9 t2(t的单位s；h中的单位：m）可以描述他跳跃时
重心高度的变化．如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）
A．0．71s B．0.70s C．0.63s D．0．36s
8．已知抛物线的解析式为y=－（x—2）2＋l，则抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2）
9．若二次函数y=x2－x与y=－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）
A．这两个函数图象有相同的对称轴
B．这两个函数图象的开口方向相反
C．方程－x2+k=0没有实数根
D．二次函数y=－x2＋k的最大值为12
10．抛物线y=x2 +2x－3与x轴的交点的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．抛物线y=（x—l）2 +2的对称轴是（ ）
A．直线x=－1 B．直线x=1 C．直线x=2 D．直线x=2
12．已知二次函数 的图象如图所示，则在“① a＜0，②b ＞0，③c＜ 0，④b2－4ac＞0”中，正确的判断是（ ）
A、①②③④ B、④ C、①②③ D、①④
13．已知二次函数 (a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0．其中正确的个数是（ ）
A．l个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有（）
A．最大值1 B．最小值－3
C．最大值－3 D．最小值1
15．用列表法画二次函数 的图象时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ）
A．506 B．380 C．274 D．182
16．将二次函数y=x2－4x+ 6化为 y=(x—h)2+k的形式：y=___________
17．把二次函数y=x2－4x+5化成y=(x—h)2+k的形式：y=___________
18．若二次函数y=x2－4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=__
_________________（只要求写一个）．
19．抛物线y=(x－1)2+3的顶点坐标是____________．
20．二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为_________.
21. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，
(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。
(2)若点（x0,y0）在抛物线上，且0≤x0≤4,试写出y0的取值范围。
22．华联商场以每件30元购进一种商品，试销中发现每天的销售量 （件）与每件的销售价 （元）满足一次函数y=162－3x；
（1）写出商场每天的销售利润 （元）与每件的销售价 （元）的函数关系式；
（2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？
23．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．
根据图像提供的信息，解答下列问题：
（1）求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
24．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米，
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥 千米，（桥长忽略不计）货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时 米的速度持续上涨，（货车接到通知时水位在CD处），当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？
25.已知直线y＝－2x＋b(b≠0)与x轴交于点A，与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y＝x2－(b＋10)x＋c.
⑴若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y＝－2x＋b上，试确定这条抛物线的解析式；
⑵过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y＝－2x＋b的解析式.
26．已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下，与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点，其中xl<x2．
(1)求m的取值范围；
(2)若x12+ x22=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；
27．如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A( 0, 6 )，D ( 4，6)，且AB=210 .
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△PBD=12 S梯形ABCD。若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.
28．数学活动小组接受学校的一项任务：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一块生物园地，请设计一个方案使生物园的面积尽可能大。
(1)活动小组提交如图的方案。设靠墙的一边长为 x 米，则不靠墙的一边长为(60－2x)米，面积y= (60－2x) x米2．当x=15时，y最大值 =450米2。
(2)机灵的小明想：如果改变生物园的形状，围成的面积会更大吗？请你帮小明设计两个方案，要求画出图形，算出面积大小；并找出面积最大的方案．
答案:
1．>5 2. D 21. (1) (1,4) (2) –5≤y0≤4
22. (1) W= –3x2+252x–4860 (2) W最大=432（元）
23. (1) S= 12 t2–2t (t >0) (2) 当S=30时，t=10 (3) 当T=8时，S=16
24. (1) y= –125 x2
(2) 水位约4小时上涨到0,按原速不能安全通过此桥.若要通过需超过60千米/小时
25. (1) y=x2–4x–6 或 y=x2–10
(2) y= –2x–2 (提示，Rt△ABC中，OB2=OA•OC
26. (1) 1<m< 73 (2) y= –x2+4x–3
27 (1) B(–2, 0) (2) y= –12 x2+2x+6
(3) 由抛物线的对称性可知抛物线必过点C，因此，P点必定在直线BD下方，
P1 (1+21 ，21 –3) P2（1–21 ，–21 –3）
28．以围墙的一部分为一边，往外围成一个正多边形（五、六、……）R的一半，
如图S=12 ×103 ×（20+10×2＋20）=3003 ≈520米2
围成半圆面积最大，最大的面积为：573米2
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时间：2023-11-02 09:45
【课标要求】
考点课标要求知识与技能目标
了解理解掌握灵活应用
二次函数理解二次函数的意义∨
会用描点法画出二次函数的图像∨
会确定抛物线开口方向、顶点坐标和对称轴∨
通过对实际问题的分析确定二次函数表达式∨∨
理解二次函数与一元二次方程的关系∨
会根据抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的图像来确定a、b、c的符号∨∨
【知识梳理】
1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.
2.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 .
3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .
4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
5.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直线 .
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
6.抛物线 中， 的作用
（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.
（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线
，故：① 时，对称轴为 轴；② （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.
（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.
当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：
① ，抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴；③ ,与 轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .
7.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.
（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .
12.直线与抛物线的交点
（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).
（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).
（3）抛物线与 轴的交点
二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 抛物线与 轴相交；
②有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；
③没有交点 抛物线与 轴相离.
（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.
（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; ②方程组只有一组解时 与 只有一个交点；③方程组无解时 与 没有交点.
（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于 、 是方程 的两个根，故
【能力训练】
1．二次函数y=－x2＋6x－5，当 时， ，且 随 的增大而减小。
2.抛物线 的顶点坐标在第三象限，则 的值为（ ）
A． B． C． D． ．
3．抛物线y=x2－2x＋3的对称轴是直线（ ）
A．x =2 B．x =－2 C．x =－1 D．x =1
4． 二次函数y=x2+2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3 B．5 C．－3和5 D．3和－5
5．抛物线y=x2－x的顶点坐标是（ ）
6．二次函数 的图象，如图1－2－40所示，根据图象可得a、b、c与0的大小关系是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0
7．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3．5 t－4．9 t2(t的单位s；h中的单位：m）可以描述他跳跃时
重心高度的变化．如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）
A．0．71s B．0.70s C．0.63s D．0．36s
8．已知抛物线的解析式为y=－（x—2）2＋l，则抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2）
9．若二次函数y=x2－x与y=－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）
A．这两个函数图象有相同的对称轴
B．这两个函数图象的开口方向相反
C．方程－x2+k=0没有实数根
D．二次函数y=－x2＋k的最大值为12
10．抛物线y=x2 +2x－3与x轴的交点的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．抛物线y=（x—l）2 +2的对称轴是（ ）
A．直线x=－1 B．直线x=1 C．直线x=2 D．直线x=2
12．已知二次函数 的图象如图所示，则在“① a＜0，②b ＞0，③c＜ 0，④b2－4ac＞0”中，正确的判断是（ ）
A、①②③④ B、④ C、①②③ D、①④
13．已知二次函数 (a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0．其中正确的个数是（ ）
A．l个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有（）
A．最大值1 B．最小值－3
C．最大值－3 D．最小值1
15．用列表法画二次函数 的图象时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ）
A．506 B．380 C．274 D．182
16．将二次函数y=x2－4x+ 6化为 y=(x—h)2+k的形式：y=___________
17．把二次函数y=x2－4x+5化成y=(x—h)2+k的形式：y=___________
18．若二次函数y=x2－4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=__
_________________（只要求写一个）．
19．抛物线y=(x－1)2+3的顶点坐标是____________．
20．二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为_________.
21. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，
(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。
(2)若点（x0,y0）在抛物线上，且0≤x0≤4,试写出y0的取值范围。
22．华联商场以每件30元购进一种商品，试销中发现每天的销售量 （件）与每件的销售价 （元）满足一次函数y=162－3x；
（1）写出商场每天的销售利润 （元）与每件的销售价 （元）的函数关系式；
（2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？
23．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．
根据图像提供的信息，解答下列问题：
（1）求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
24．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米，
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥 千米，（桥长忽略不计）货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时 米的速度持续上涨，（货车接到通知时水位在CD处），当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？
25.已知直线y＝－2x＋b(b≠0)与x轴交于点A，与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y＝x2－(b＋10)x＋c.
⑴若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y＝－2x＋b上，试确定这条抛物线的解析式；
⑵过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y＝－2x＋b的解析式.
26．已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下，与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点，其中xl<x2．
(1)求m的取值范围；
(2)若x12+ x22=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；
27．如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A( 0, 6 )，D ( 4，6)，且AB=210 .
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△PBD=12 S梯形ABCD。若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.
28．数学活动小组接受学校的一项任务：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一块生物园地，请设计一个方案使生物园的面积尽可能大。
(1)活动小组提交如图的方案。设靠墙的一边长为 x 米，则不靠墙的一边长为(60－2x)米，面积y= (60－2x) x米2．当x=15时，y最大值 =450米2。
(2)机灵的小明想：如果改变生物园的形状，围成的面积会更大吗？请你帮小明设计两个方案，要求画出图形，算出面积大小；并找出面积最大的方案．
答案:
1．>5 2. D 21. (1) (1,4) (2) –5≤y0≤4
22. (1) W= –3x2+252x–4860 (2) W最大=432（元）
23. (1) S= 12 t2–2t (t >0) (2) 当S=30时，t=10 (3) 当T=8时，S=16
24. (1) y= –125 x2
(2) 水位约4小时上涨到0,按原速不能安全通过此桥.若要通过需超过60千米/小时
25. (1) y=x2–4x–6 或 y=x2–10
(2) y= –2x–2 (提示，Rt△ABC中，OB2=OA•OC
26. (1) 1<m< 73 (2) y= –x2+4x–3
27 (1) B(–2, 0) (2) y= –12 x2+2x+6
(3) 由抛物线的对称性可知抛物线必过点C，因此，P点必定在直线BD下方，
P1 (1+21 ，21 –3) P2（1–21 ，–21 –3）
28．以围墙的一部分为一边，往外围成一个正多边形（五、六、……）R的一半，
如图S=12 ×103 ×（20+10×2＋20）=3003 ≈520米2
围成半圆面积最大，最大的面积为：573米2
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时间：2023-11-02 09:45
再说，买本中考书，全有了 。
实在不行、上菁优网。里面有原题
热心网友
时间：2023-11-02 09:46
交于 两点（点 在点 的左侧）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 ，试证明△ 为直角三角形；
（3）若点 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 ，使以 为顶点的
的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，
请说明理由.
热心网友
时间：2023-11-02 09:45
再说，买本中考书，全有了 。
实在不行、上菁优网。里面有原题
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时间：2023-11-02 09:46
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时间：2023-11-02 09:47
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时间：2023-11-24 10:43
【课标要求】
考点课标要求知识与技能目标
了解理解掌握灵活应用
二次函数理解二次函数的意义∨
会用描点法画出二次函数的图像∨
会确定抛物线开口方向、顶点坐标和对称轴∨
通过对实际问题的分析确定二次函数表达式∨∨
理解二次函数与一元二次方程的关系∨
会根据抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的图像来确定a、b、c的符号∨∨
【知识梳理】
1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.
2.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 .
3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .
4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
5.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直线 .
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
6.抛物线 中， 的作用
（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.
（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线
，故：① 时，对称轴为 轴；② （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.
（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.
当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：
① ，抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴；③ ,与 轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .
7.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.
（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .
12.直线与抛物线的交点
（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).
（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).
（3）抛物线与 轴的交点
二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 抛物线与 轴相交；
②有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；
③没有交点 抛物线与 轴相离.
（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.
（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; ②方程组只有一组解时 与 只有一个交点；③方程组无解时 与 没有交点.
（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于 、 是方程 的两个根，故
【能力训练】
1．二次函数y=－x2＋6x－5，当 时， ，且 随 的增大而减小。
2.抛物线 的顶点坐标在第三象限，则 的值为（ ）
A． B． C． D． ．
3．抛物线y=x2－2x＋3的对称轴是直线（ ）
A．x =2 B．x =－2 C．x =－1 D．x =1
4． 二次函数y=x2+2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3 B．5 C．－3和5 D．3和－5
5．抛物线y=x2－x的顶点坐标是（ ）
6．二次函数 的图象，如图1－2－40所示，根据图象可得a、b、c与0的大小关系是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0
7．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3．5 t－4．9 t2(t的单位s；h中的单位：m）可以描述他跳跃时
重心高度的变化．如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）
A．0．71s B．0.70s C．0.63s D．0．36s
8．已知抛物线的解析式为y=－（x—2）2＋l，则抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2）
9．若二次函数y=x2－x与y=－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）
A．这两个函数图象有相同的对称轴
B．这两个函数图象的开口方向相反
C．方程－x2+k=0没有实数根
D．二次函数y=－x2＋k的最大值为12
10．抛物线y=x2 +2x－3与x轴的交点的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．抛物线y=（x—l）2 +2的对称轴是（ ）
A．直线x=－1 B．直线x=1 C．直线x=2 D．直线x=2
12．已知二次函数 的图象如图所示，则在“① a＜0，②b ＞0，③c＜ 0，④b2－4ac＞0”中，正确的判断是（ ）
A、①②③④ B、④ C、①②③ D、①④
13．已知二次函数 (a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0．其中正确的个数是（ ）
A．l个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有（）
A．最大值1 B．最小值－3
C．最大值－3 D．最小值1
15．用列表法画二次函数 的图象时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ）
A．506 B．380 C．274 D．182
16．将二次函数y=x2－4x+ 6化为 y=(x—h)2+k的形式：y=___________
17．把二次函数y=x2－4x+5化成y=(x—h)2+k的形式：y=___________
18．若二次函数y=x2－4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=__
_________________（只要求写一个）．
19．抛物线y=(x－1)2+3的顶点坐标是____________．
20．二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为_________.
21. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，
(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。
(2)若点（x0,y0）在抛物线上，且0≤x0≤4,试写出y0的取值范围。
22．华联商场以每件30元购进一种商品，试销中发现每天的销售量 （件）与每件的销售价 （元）满足一次函数y=162－3x；
（1）写出商场每天的销售利润 （元）与每件的销售价 （元）的函数关系式；
（2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？
23．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．
根据图像提供的信息，解答下列问题：
（1）求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
24．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米，
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥 千米，（桥长忽略不计）货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时 米的速度持续上涨，（货车接到通知时水位在CD处），当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？
25.已知直线y＝－2x＋b(b≠0)与x轴交于点A，与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y＝x2－(b＋10)x＋c.
⑴若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y＝－2x＋b上，试确定这条抛物线的解析式；
⑵过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y＝－2x＋b的解析式.
26．已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下，与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点，其中xl<x2．
(1)求m的取值范围；
(2)若x12+ x22=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；
27．如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A( 0, 6 )，D ( 4，6)，且AB=210 .
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△PBD=12 S梯形ABCD。若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.
28．数学活动小组接受学校的一项任务：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一块生物园地，请设计一个方案使生物园的面积尽可能大。
(1)活动小组提交如图的方案。设靠墙的一边长为 x 米，则不靠墙的一边长为(60－2x)米，面积y= (60－2x) x米2．当x=15时，y最大值 =450米2。
(2)机灵的小明想：如果改变生物园的形状，围成的面积会更大吗？请你帮小明设计两个方案，要求画出图形，算出面积大小；并找出面积最大的方案．
答案:
1．>5 2. D 21. (1) (1,4) (2) –5≤y0≤4
22. (1) W= –3x2+252x–4860 (2) W最大=432（元）
23. (1) S= 12 t2–2t (t >0) (2) 当S=30时，t=10 (3) 当T=8时，S=16
24. (1) y= –125 x2
(2) 水位约4小时上涨到0,按原速不能安全通过此桥.若要通过需超过60千米/小时
25. (1) y=x2–4x–6 或 y=x2–10
(2) y= –2x–2 (提示，Rt△ABC中，OB2=OA•OC
26. (1) 1<m< 73 (2) y= –x2+4x–3
27 (1) B(–2, 0) (2) y= –12 x2+2x+6
(3) 由抛物线的对称性可知抛物线必过点C，因此，P点必定在直线BD下方，
P1 (1+21 ，21 –3) P2（1–21 ，–21 –3）
28．以围墙的一部分为一边，往外围成一个正多边形（五、六、……）R的一半，
如图S=12 ×103 ×（20+10×2＋20）=3003 ≈520米2
围成半圆面积最大，最大的面积为：573米2
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时间：2023-11-02 09:48
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时间：2023-11-24 10:43
再说，买本中考书，全有了 。
实在不行、上菁优网。里面有原题
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时间：2023-11-02 09:46
交于 两点（点 在点 的左侧）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 ，试证明△ 为直角三角形；
（3）若点 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 ，使以 为顶点的
的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，
请说明理由.
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时间：2023-11-24 10:43
交于 两点（点 在点 的左侧）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 ，试证明△ 为直角三角形；
（3）若点 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 ，使以 为顶点的
的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，
请说明理由.
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时间：2023-11-24 10:44
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时间：2023-11-24 10:45
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时间：2023-11-24 10:45
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时间：2023-11-02 09:46
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时间：2023-11-02 09:47
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时间：2023-11-02 09:48
