,同僚们,请帮忙解决一道数学题
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发布时间：2023-06-22 04:33
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时间：2024-04-05 23:15
∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴四边形ABNQ是矩形。
∵QD=t，AD=3，∴BN=AQ=3-t，∴NC=BC-BN=4-（3-
t）=
t+1。
∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC=5。
∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴MN‖AB，∴△MNC∽△ABC，
即
，∴MC=5/4(1+t).
（2）当QD=CP时，四边形PCDQ构成平行四边形。
∴当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形。
(3)如果射线QN将△ABC的周长平分，有：
MC+NC=AM+BN+AB
即：5/4（1+t)+1+t=1/2（3+4+5）
解得：
t=5/3
而MN=3/4NC=3/4（1+t)
∴△MNC的面积=1/2×3/4（1+t))^2
=3/8（1+t)^2
当t=5/3时，△MNC的面积=3/8（1+t)^2≠1/2×1/2×3×4
∴不存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分。
（4）分3种情况：
①当PM=MC时，△PMC为等腰三角形。
则PN=NC，即PC=2NC
得
4-t=2（1+t)
解得t=2/3
②当CM=PC时，则有：5/4（1+t)=4-t
解得：t=11/9
③当PM=PC时，△PMC为直角三角形。
在直角三角形PMC中，PM^2=MN^2+PN^2
而MN=3/4NC=3/4（1+t)
PN=NV-PC=（1+t)-(4-t)=2t-3
∴[3/4（1+t)]^2+(2t-3）^2=(4-t)^2
解得:t1=103/57
t2=-1(舍去）
∴当t2/3,t=11/9,t=103/57时，△PMC为等腰三角形。
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