三个集合的并集的元素数目等于

发布网友发布时间：2023-09-06 05:59

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热心网友时间：2024-11-15 01:13

为了便于说清楚问题,我们考虑a∩b≠φ、c∩b≠φ、a∩c≠φ、a∩b∩c≠φ的情况,利用维恩图表示如图2,我们把图中间四个区分别记为ⅰ、ⅱ、ⅲ、ⅳ并用a,b,c,d来分别表示ⅰ、ⅱ、ⅲ、ⅳ各区域构成的集合中元素的个数,card(a∪b∪c)与card(a)+card(b)+card(c)相比,相对card(a∪b∪c)来说card(a)+card(b)+card(c)
的数目中多计了a,c,d一次,b两次,由此建立等量关系式:图2
a=card(a∩b)-card(a∩b∩c),
c=card(b∩c)-card(a∩b∩c),
d=card(a∩c)-card(a∩b∩c)
故card(a∪b∪c)=card(a)+card(b)+card(c)
-[card(a∩b)-card(a∩b∩c)]
-[card(b∩c)-card(a∩b∩c)]
-[card(a∩c)-card(a∩b∩c)]-2card(a∩b∩c)
整理得,
card(a∪b∪c)=card(a)+card(b)+card(c)-card(a∩b)-card(a∩c)-card(b∩c)+card(a∩b∩c),由此我们可得
结论2:已知三个有限集合a,b,c,有card(a∪b∪c)=card(a)+card(b)+card(c)-card(a∩b)-card(a∩c)-card(b∩c)+card(a∩b∩c).