求极限 lim x→0 tanx(1-cosx)/x^3

发布网友发布时间：2023-08-24 22:09

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热心网友时间：2024-12-11 21:19

如图

追问谢谢(●'◡'●)ﾉ❤

热心网友时间：2024-12-11 21:19

我们可以使用洛必达法则来求解这个极限。
将极限写成分式形式，得到：
lim x→0 [tanx(1-cosx)]/x^3
对于分子，可以将其变形为：
tanx(1-cosx) = sinx(1-cosx)/cosx = sinx/cosx - sinx*cosx/cosx = sinx/cosx - sinx
因此，原式可以改写为：
lim x→0 [sinx/cosx - sinx]/x^3
对于第一项，注意到当x趋近于0时，sinx/cosx的极限为1，因此将其变形为：
lim x→0 [sinx/cosx - sinx]/x^3 = lim x→0 [(cosx - sinx*cosx)/cosx]/x^3
= lim x→0 [(1 - sinx)/cosx]/x^3 - lim x→0 [sinx*cosx]/(cosx x^3)
对于第一项，可以使用洛必达法则，得到：
lim x→0 [(1 - sinx)/cosx]/x^3 = lim x→0 [-cosx]/(3x^2(1-sinx))
= lim x→0 [cosx]/(3x^2(cosx-1)) = -1/3
对于第二项，注意到当x趋近于0时，sinx*cosx/x^3的极限为0，因此第二项的极限为0。
因此，原式的极限为：
lim x→0 [sinx/cosx - sinx]/x^3 = -1/3
因此，原式的极限为-1/3。

热心网友时间：2024-12-11 21:20

lim tanx(1-cosx)/x³
x→0-
=lim x·½x²/x³
x→0-
=lim ½x³/x³
x→0-
=½