中国剩余定理指什么?
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发布时间：2022-04-25 15:00
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时间：2023-10-10 14:10
民间传说着一则故事——“韩信点兵”。
秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进*，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.
这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.
① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？
解：除以3余2的数有：
2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….
它们除以12的余数是：
2，5，8，11，2，5，8，11，….
除以4余1的数有：
1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….
它们除以12的余数是：
1， 5， 9， 1， 5， 9，….
一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.
如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是 5＋12×整数，
整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.
②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.
解：先列出除以3余2的数：
2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，
再列出除以5余3的数：
3， 8， 13， 18， 23， 28，….
这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23， 30，…，
就得出符合题目条件的最小数是23.
事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.
那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是105×10+23=1073人
热心网友
时间：2023-10-10 14:10
我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题：“今有物不知其数：三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。”这个问题一般称孙子问题。这个问题可译成：求被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小正整数。《孙子算经》中记载了这个问题的解法，有人将其解法编成歌诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。”它的意思是用3数的剩余数乘70，用5数的剩余数乘21，用7数的剩余数乘15，将所得的结果相加再减去105的倍数，即可得所求数。算式是2×70＋3×21＋2×15=233，233-105×2=23，所以，最小的正整数解是23。这种解法，实际上是特殊的一次同余式组的求解定理。1801年，德国数学家高斯在《算术探究》中明确提出一次同余式组的求解定理。西方数学著作中将一次同余式的求解定理称为中国剩余定理。
