三角函数三次方公式推导
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发布时间：2023-08-17 11:30
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时间：2024-09-17 17:11
假设我们有一个角度为θ的直角三角形，其中对边为a，邻边为b，斜边为c。那么，根据勾股定理，我们可以得到以下公式：
c² = a² + b²
接下来，我们来看一下三角函数的定义，正弦函数sin(θ)就是对边a与斜边c的比值，余弦函数cos(θ)就是邻边b与斜边c的比值。因此，我们可以得到以下公式：
sin²(θ) = a²/c²
cos²(θ) = b²/c²
由此可得：
a² = c²sin²(θ)
b² = c²cos²(θ)
接下来，我们需要用到一个三角恒等式：
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
将上面的两个公式代入三角恒等式中，可得：
c²sin²(θ) + c²cos²(θ) = c²
化简后得：
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
这个三角恒等式在三角函数中非常重要，因为它能够将三角函数之间的关系联系起来。接下来，我们通过对上式进行平方，得到：
(sin²(θ) + cos²(θ))² = 1
展开后，可得：
sin⁴(θ) + 2sin²(θ)cos²(θ) + cos⁴(θ) = 1
将sin²(θ)和cos²(θ)用1-sin²(θ)和1-cos²(θ)代入上式，可得：
1 - 2sin²(θ)cos²(θ) + sin⁴(θ) + cos⁴(θ) = 1
化简后得：
sin⁴(θ) + 2sin²(θ)cos²(θ) + cos⁴(θ) = 2sin²(θ)cos²(θ) + 1
移项后得：
sin⁴(θ) - 2sin²(θ)cos²(θ) + cos⁴(θ) = 1 - 2sin²(θ)cos²(θ)
化简后得：
(sin²(θ) - cos²(θ))² = 1 - 4sin²(θ)cos²(θ)
将左边展开，可得：
sin⁴(θ) - 2sin²(θ)cos²(θ) + cos⁴(θ) = 1 - 4sin²(θ)cos²(θ)
移项后得：
sin⁴(θ) - 4sin²(θ)cos²(θ) + cos⁴(θ) = 1 - 5sin²(θ)cos²(θ)
移项后得：
1 - sin⁴(θ) - 4sin²(θ)cos²(θ) - cos⁴(θ) = 4sin²(θ)cos²(θ)
化简后得：
(1 - sin²(θ)cos²(θ))² = sin²(θ)cos²(θ)
将左边展开，可得：
1 - 2sin²(θ)cos²(θ) + sin⁴(θ)cos⁴(θ) = sin²(θ)cos²(θ)
移项后得：
sin⁴(θ)cos⁴(θ) - 2sin²(θ)cos²(θ) + 1 = sin²(θ)cos²(θ)
将sin²(θ)和cos²(θ)用1-sin²(θ)和1-cos²(θ)代入上式，可得：
(1-cos²(θ))(1-sin²(θ))cos⁴(θ) - 2(1-cos²(θ))(1-sin²(θ))cos²(θ) + (1-cos²(θ))(1-sin²(θ)) = (1-cos²(θ))(1-sin²(θ))
化简后得：
cos⁴(θ) - 2cos²(θ) + 1 = cos²(θ)sin²(θ)
移项后得：
cos⁴(θ) - cos²(θ)sin²(θ) + sin²(θ)cos²(θ) - 2cos²(θ) + 2cos²(θ) - 1 = 0
化简后得：
(cos²(θ) - sin²(θ))² - 2(cos²(θ) - sin²(θ)) - 1 = 0
令cos²(θ) - sin²(θ) = x，可得：
x² - 2x - 1 = 0
解得：
x = cos²(θ) - sin²(θ) = 1 ± √2
因此，我们可以得到：
cos³(θ) - 3cos(θ)sin²(θ) = cos³(θ) - cos(θ)(1-cos²(θ)) = cos(θ) - cos³(θ)
sin³(θ) - 3sin(θ)cos²(θ) = sin³(θ) - sin(θ)(1-sin²(θ)) = sin(θ) - sin³(θ)
综上所述，我们通过一系列的推导，得到了三角函数的三次方公式。
