三角形的三条高交于一点是否成立?
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发布时间：2023-09-27 17:49
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热心网友
时间：2024-12-12 13:02
假设CF与BE交于G点
现在需要证明的是：G点位于AD上：
根据梅氏定理：(CE/EA)(AB/BF)(FG/GC)=1
即：1*2(FG/GC)=1
即：FG/GC=1/2
故：CG=2CF/3
CF=(CA+CB)/2
故：CG=(CA+CB)/3
故：GD=CD-CG=CB/2-CG
=CB/2-(CA+CB)/3
=-CA/3+CB/6
=(-1/6)(2CA-CB)
AG=CG-CA=(CA+CB)/3-CA
=-2CA/3+CB/3
=(-1/3)(2CA-CB)
即：AG=2GD
即：AG、GD共线
即：A、G、D三点共线
即原结论得证
三角形的垂心定理：在三角形ABC中,求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,且BE交CF于点H,连接AH并延长交BC于点D.现在我们只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB,BE所以 四边形BFEC为圆内接四边形.四边形AFHE为圆内接四边形。
以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。
热心网友
时间：2024-12-12 13:02
三角形三条中线交于一点，称为重心；
三角形三条内角平分线交于一点，称为内心；
三角形三条边的垂直平分线交于一点，称为外心；
三角形两条外角平分线及另外一角的平分线交于一点，称为旁心；
三角形三条界线交于一点，称为界心。
