矩阵合同必定是对称矩阵吗?
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发布时间：2023-09-23 02:38
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时间：2024-12-11 17:00
是的。
合同矩阵一定是实对称矩阵。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵C，使得C，TAC=B,则称方阵A合同于矩阵B。假如A和B不是实对称矩阵，即使存在可逆矩阵P令P'AP=B，那A和B也不算合同矩阵。
一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。设A，B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。
性质：
合同关系是一个等价关系，也就是说满足：
1、反身性：任意矩阵都与其自身合同。
2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A。
3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C。
4、合同矩阵的秩相同。
矩阵合同的主要判别法：
设A，B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。
设A，B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。
