广义的积分中值定理
发布网友
发布时间：2023-09-26 14:24
共1个回答
热心网友
时间：2024-11-15 00:09
广义积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。
1、第一中值定理
在定积分中，有一个地位相当于微分学中的Lagrange值定理的中值定理，那就是积分第一中值定理（或者说，它是中值定理在一元积分学中的推广），它是说：若函数f（x）在区间[a，b]上连续，g（x）在[a，b] 上保号可积，则存在ξ∈ [a，b]，使得下式成立。
∫（a，b）f（x）g（x）dx= f（ξ）∫（a，b）g（x）dx。
2、第二中值定理
积分第二中值定理是与积分第一中值定理相互独立的一个定理，属于积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。
内容如下：若f，g在[a，b]上黎曼可积且f（x）在[a，b]上单调，则存在[a，b]上的点ξ使∫（a，b）f（x）g（x）dx=f（a）∫（a，ξ）g（x）dx+f（b）∫（b，ξ）g（x）dx。
积分中值定理的应用
1、简化
积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。例如，在计算定积分时可以通过寻找一个中值点，将原积分转化为两个简单积分的和的形式，从而将复杂的积分问题简化为简单的积分问题。
2、求极限
在一些含有定积分式的函数极限的计算中，常常可以运用积分中值定理简化或转化问题。例如，当函数的极限形式为f（x）→∫（a，b）f（t）dt时，可以运用积分中值定理，将积分转化为函数的极限形式，从而简化问题，进而求出函数的极限值。
3、不等式证明
在不等式中含有两个以上积分的不等式时，根据被积函数所满足的条件,灵活运用积分中值定理，以达到证明不等式成立的目的。例如，当需要证明不等式∫（a，b）f（t）dt≤C时，可以运用积分中值定理，将积分转化为函数的不等式形式。
