球坐标和笛卡尔坐标的换算公式有哪些?
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发布时间：2023-09-26 14:23
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时间：2023-11-18 18:30
球坐标是一种描述三维空间中点的坐标系统，它使用半径、极角和方位角来表示点的位置。球坐标变换公式可以将球坐标转换为直角坐标（笛卡尔坐标）或将直角坐标转换为球坐标。
将球坐标转换为直角坐标的公式如下：
x = r * sin(θ) * cos(φ)
y = r * sin(θ) * sin(φ)
z = r * cos(θ)
其中，
x、y、z 分别表示点在直角坐标系下的坐标，
r 表示点到原点的距离（半径），
θ（取值范围：0 ≤ θ ≤ π）表示点与正半轴的夹角（也称极角），
φ（取值范围：0 ≤ φ < 2π）表示点在 xy 平面上的投影与正 x 轴的夹角（也称方位角）。
将直角坐标转换为球坐标的公式如下：
r = √(x^2 + y^2 + z^2)
θ = arccos(z / r)
φ = atan2(y, x)
其中，
r 表示点到原点的距离（半径），
θ（取值范围：0 ≤ θ ≤ π）表示点与正半轴的夹角（也称极角），
φ（取值范围：0 ≤ φ < 2π）表示点在 xy 平面上的投影与正 x 轴的夹角（也称方位角），
arccos 表示反余弦函数，atan2 表示反正切函数。
这些公式可以用于在球坐标和直角坐标之间进行转换，并用于在不同坐标系统下进行问题的建模和解决。
球坐标定义
圆球坐标系，又称球坐标系。在数学里，是一种利用球坐标表示一个点p在三维空间的位置的三维正交坐标系。
假设P点在三维空间的位置的三个坐标是（r，θ，φ）。那么，0 ≤r是从原点到P点的距离，0 ≤θ≤ π是从原点到P点的连线与正z-轴的夹角，0 ≤φ< 2π是从原点到P点的连线在xy-平面的投影线，与正x-轴的夹角。
坐标系变换
三维空间里，有各种各样的坐标系。球坐标系只是其中一种。球坐标系与其他坐标系的变换需要用到特别的方程式。
使用以下等式，可从直角坐标变换为球坐标
球坐标变换公式例题
已知球坐标为：r = 2，θ = π/4，φ = π/6，求对应的直角坐标。
解题步骤如下：
1. 确定已知条件：
r = 2
θ = π/4
φ = π/6
2. 使用球坐标转换为直角坐标的公式：
x = r * sin(θ) * cos(φ)
y = r * sin(θ) * sin(φ)
z = r * cos(θ)
3. 计算直角坐标：
将已知条件代入公式，得到：
x = 2 * sin(π/4) * cos(π/6)
y = 2 * sin(π/4) * sin(π/6)
z = 2 * cos(π/4)
4. 进行计算：
使用计算器计算上述表达式，得到：
x ≈ 0.866
y ≈ 1.0
z ≈ 1.732
因此，球坐标 (r, θ, φ) = (2, π/4, π/6) 对应的直角坐标为 (x, y, z) ≈ (0.866, 1.0, 1.732)。
