动态裂纹
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发布时间：2022-04-25 17:17
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时间：2023-10-22 04:56
一、动态裂纹的应力场
即使外力不随时间变化，但如果裂纹高速扩展，则裂纹尖端的应力将急剧释放，因惯性效应而产生应力波，也使裂纹尖端的应力场具有动态特性，此时应力场不但随时间变化，而且与裂纹的扩展速度有关。对于Ⅰ型裂纹而言，其裂纹尖端附近一点P（r，θ）处的环向应力可表示为
岩石断裂与损伤
式中：v=da/dt为裂纹扩展速度；f（v，θ）为依赖于裂纹扩展速度和角位置的函数；KⅠ（v，t）为动态裂纹的应力强度因子。当v=0时（即静止裂纹），f（v，θ）就同前述的f（θ）表达式是相同的。
动态裂纹的f（v，θ）、KⅠ（v，t）形式上更复杂，这里不做深入研究，只说明以下两点：
（1）在静态问题中，当θ=0，即在裂纹尖端的正前方，应力σθ为最大。但在动态裂纹中，由于裂纹扩展速度v的影响，应力σθ的最大值不一定发生在θ=0处，计算表明，当v＞0.6c2（c2为横波速度）后，σθ达到最大值的方向θ0开始不等于零，而且v愈大时，θ0也愈大。表明裂纹在高速扩展时将偏离裂纹所在平面，因此动态裂纹的扩展断面是粗糙的。
（2）动态应力强度因子KⅠ（v，t）一般可表示为一个速度因子与静态因子的乘积，即
岩石断裂与损伤
这一关系式是由Freund在研究无限平板中等速运动的半无限裂纹时提出的，对于一般的裂纹体，速度因子很难求得，如果认为速度因子k（v）是不依赖裂纹模型而只与裂纹扩展速度v有关的函数，Freund给出的变化关系如图8-5所示。当v=0时，k（v）=1，当v=cR（cR为Rayleigh表面波的波速）时，k（v）=0。
不是以前所讨论的静态应力强度因子，它依赖于当时的裂纹长度并与时间有关，可理解为以速度v扩展的裂纹在扩展了vt距离后突然停止时（v=0）的静态应力强度因子。例如：静载下半无限长裂纹的可表示为
岩石断裂与损伤
其中，p（x）是扩展前在裂纹延长面上作用的应力。
由式可知：不管怎样的裂纹，如果其扩展速度达到表面波的波速cR ，则KⅠ（v，t）=0。对Ⅱ型和Ⅲ型裂纹，上述结论亦成立。
对于等速传播裂纹情况下通过渐近展开，可导出裂纹尖端的应力场和位移场，下面介绍Rice的推导结果。首先建立两个坐标系，x1y1表示固定坐标系，xy代表与裂纹尖端一起运动的运动坐标系，如图8-6所示。这两个坐标系的关系为
图8-5 速度因子与扩展速度的变化规律示意图
图8-6 运动坐标与固定坐标系
x=x1-vt，y=y1
在固定坐标系中的波动方程（不计体积力，按位移求解弹性动力学问题的基本方程）为
岩石断裂与损伤
式中：c1为纵波速度；c2为横波速度；ψ、ψ为波势函数。在坐标变化后，运动坐标系中方程组化为
岩石断裂与损伤
式中：
岩石断裂与损伤
在直角坐标与极坐标之间建立如下关系式：
岩石断裂与损伤
在极坐标系中，方程组化为
岩石断裂与损伤
Rice在讨论裂纹尖端渐近场时，认为此方程右端代表的量较小，因而把右端忽略。显然这样得到的解只是一个稳态的快速扩展的近似解。考虑边界条件及r1/a≪1，r2/a≪1的情形，求得渐近位移场为
岩石断裂与损伤
式中：（r，0，v），称为Ⅰ型裂纹的动态应力强度因子。渐近应力场为
岩石断裂与损伤
对于裂纹以加速度传播的情形，目前尚未得到裂纹尖端附近的渐近应力场和位移场的一般表达式。
渐近应力场和位移场公式表明，应力与位移随裂纹运动速度和角度的变化而变化，一个重要结果是裂纹尖端应力场的多轴化随裂纹传播速度的变化规律。在θ=0处的应力比值σy/σx在物理上作为应力场多轴化程度的量度，具有如下结果：
岩石断裂与损伤
二、动态裂纹的能量平衡
类似于静态裂纹的能量释放率（裂纹扩展单位长度时释放出的能量）或裂纹扩展驱动力，运动裂纹的动态能量释放率可表示为
岩石断裂与损伤
式中：W表示外力所做的功；U表示应变能；T为动能；B为在裂纹尖端处试样厚度；a为裂纹长度；v为裂纹扩展速度，v=da/dt。式中等号右边最后一项是动态裂纹所特有的，对静态裂纹此项可忽略不计。由此可见，计算一个快速传播或止裂裂纹的GⅠ，存在两点超出静态情形所要求的推广。第一是存在动能的贡献；第二是相关量必须从完全的动态分析得到，即惯性力明显地包含在运动方程中。
运动裂纹的能量判据则可仿照静态问题的能量判据写成
岩石断裂与损伤
其中RⅠ（v）是运动裂纹的扩展阻力。式中的等号表示裂纹传播条件，而不等号表示运动裂纹的止裂条件。
按照Griffith的能量理论，当G=R时裂纹将开始扩展，对动态裂纹而言则是继续快速传播。现在的问题是如果随着裂纹的扩展有G＞R的关系存在，将会发生什么情况?分析表明，多余的能量会导致以下两种情况：
（1）多余的能量作为动能使裂纹继续高速扩展。
（2）多余的能量用来形成更多的新裂纹，亦即出现裂纹分叉现象。
这里简单解释一下上述现象。根据线弹性断裂力学中能量释放率公式：
岩石断裂与损伤
可见，G与裂纹长度a成正比。但裂纹扩展阻力R=2γ是由材料性质决定的，而与裂纹长度a无关。当a=ac时，G=GⅠC=R，裂纹失稳扩展。由图8-7可知当裂纹扩展后，可以提供的能量为
岩石断裂与损伤
而裂纹需要的能量为RΔa。多余的能量为这两部分之差，如图中阴影部分所示，其大小为
岩石断裂与损伤
多余的这部分能量将转化为动能使裂纹高速扩展。随着Δa的增大G将直线增大，当增加到G=2R时，释放出的能量将两倍于裂纹扩展所需要的表面能，亦即可供两个裂纹同时扩展，因此，裂纹将开始分叉。
图8-7 裂纹的快速扩展
Nilsson与Freund给出了动态能量释放率与动态应力强度因子的关系式，对于平面应变情形有
岩石断裂与损伤
式中A（v）是一个与几何无关的量。
岩石断裂与损伤
图8-8 因子A（v）随裂纹速度变化曲线
A（v）随v/cR的变化曲线如图8-8所示。根据上式可知：当v→0时，A（v）→1；当v→cR时，A（v）→∞。所以v必须小于cR（一般情况下：cR＜c2＜c1），v实际上比cR小得多，所以曲线在v/cR＞0.34后无效。
将代入动态能量释放率表达式中，有
岩石断裂与损伤
g（v）=k2（v）A（v）称为能量释放率因子，它与裂纹速度的变化曲线如图8-5所示。
三、裂纹扩展速度与止裂
裂纹获得动能而高速扩展时，其速度将如何变化?著名物理学家、诺贝尔物理学奖获得者莫托（Mott）1948年根据量纲分析方法，研究了含裂纹的平板两端受拉应力σ作用时动能的表达式为
岩石断裂与损伤
其中：ρ为材料密度；a为裂纹长度；v为裂纹扩展速度；E为材料弹性模量；k为系数，近似值由估计。Mott的分析把裂纹运动速度及动能的作用提了出来。
另外，根据，根据图8-7，也可推导出动能的表达式为
岩石断裂与损伤
比较两式，不难得出：
岩石断裂与损伤
其中：（2π/k）1/2=0.38，c1=（E/ρ）1/2为纵波在介质中传播速度。
由上式可看出，裂纹扩展速度随裂纹长度而增加，但又不会无限增加。当a≫ac时，ac/a→0。因此，v→0.38c1，这是裂纹扩展的极限速度，如图8-9所示。其中虚线表示上式给出的理论关系，实线为闪长岩试件在单轴压缩（静态加载）时的试验结果。
事实上，裂纹不可能以vl=0.38c1的极限速度永远扩展下去，这是由于：
（1）我们讨论的情况是以应力不变，应变能释放率正比于裂纹长度为前提的。但实际上，随着裂纹的扩展应力会降低，能量释放率也会随之下降，使获得的动能逐渐减小。
（2）裂纹扩展前方可能会遇到空穴、杂质等缺陷，使裂纹钝化、扩展阻力增加。
（3）材料不均质，裂纹扩展到层面时阻力也将增大。
以上情况都将消耗更多的能量而使裂纹扩展速度减慢甚至停止下来。例如在图8-10所示的情况中，随着裂纹的扩展如果应力下降就会使G下降。当G下降到一定程度使原来的动能完全消耗时，裂纹的传播停止，这种现象称止裂，对应的裂纹长度2a*称止裂长度，发生止裂时的应力强度因子称止裂韧度，它是材料的一种物理性质，并可通过实验测定。
图8-9 裂纹扩展的极限速度
图8-10 运动裂纹的止裂长度
四、运动裂纹的传播与止裂判断
对运动裂纹的传播问题，也有与裂纹动态起始问题相类似的判据，此时，材料常数记为KID（v），表明它是裂纹运动速度的函数。类似于式K（a，σ，t）=Kd（σ′），有
岩石断裂与损伤
其中等号表示裂纹传播条件，而小于号表示止裂条件。多数实验表明，KID与试样的几何参数无关，因而它是一个材料常数，但它与裂纹传播速度v有关，这一点可理解为KID受工作环境的影响。试验结果表明：随裂纹传播速度v增大，开始KID下降，然后上升。假定在裂纹传播过程中存在一个最小值，在一般情况下，这个最小值与裂纹的止裂有联系。诸多学者对此提出了异议。事实上KID（v）并不是止裂韧度，KID（v）与KId（v）之间究竟有什么关系?还需要大量的试验研究才可得到正确的结论，此处不再讨论。
