数学竞赛 曲线积分 2x^2+f(y) (ydx-xdy) 与路径无关
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发布时间：2023-09-06 22:54
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时间：2023-09-11 21:35
设P=y/[2x^2+f(y)], Q=-x/[2x^2+f(y)]
根据曲线积分与路径无关，所以Q'x=P'y
因为Q'x=[2x^2-f(y)] / [2x^2+f(y)]^2，P'y=[2x^2+f(y)-yf'(y)] / [2x^2+f(y)]^2
所以2x^2-f(y)=2x^2+f(y)-yf'(y)
所以yf'(y)=2f(y)
df(y)/f(y)=2dy/y
那么lnf(y)=2lny+c
即lnf(x)=2lnx+c
把f(1)=1带入上式，得到c=0
所以lnf(x)=2lnx=lnx^2
所以f(x)=x^2
2)
Γ是包围原点的心形线。
根据高斯定理，在Γ上的积分，等于任何一个包围原点的曲线M上的积分。
随便取一个M：2x^2+y^2=t^2，t是个常数
写出M的参数方程x=tcosθ/√2，y=tsinθ
所以
原积分=∫M Pdx+Qdy=(1/t^2) ∫ydx-xdy
=(1/t^2) ∫(0->2π) [tsinθd(tcosθ/√2)-(tcosθ/√2)d(tsinθ)]
=(1/t^2) ∫(0->2π) (-t^2/√2) dθ
= -√2π
