高中数学等比数列链式快速求和的方法?
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发布时间：2022-04-25 21:47
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时间：2022-06-17 20:01
裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
解：设 an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）
则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
＝ 1-1/(n+1)
＝ n/(n+1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意： 余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。
一、基本概念
1、 数列的定义及表示方法：按一定次序排列成的一列数叫数列
2、 数列的项an与项数n
3、 按照数列的项数来分,分为有穷数列与无穷数列
4、 按照项的增减规律分为：递增数列,递减数列,摆动数列和常数列
5、 数列的通项公式an
6、 数列的前n项和公式Sn
7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：an=a1+(n-1)d
8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：an=a1·q^(n-1)
二、基本公式：
9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= Sn-Sn-1
10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项)
当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
11、等差数列的前n项和公式：Sn=a1·n+1/2·n·(n+1)·d
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。
12、等比数列的通项公式： an= a1·q^(n-1) an= ak·q^(n-k)
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)
13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；
当q≠1时，Sn=a1·(q^n-1)/(q-1)
三、有关等差、等比数列的结论
14、等差数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
15、等差数列中，若m+n=p+q，则 am+an=ap+aq
16、等比数列中，若m+n=p+q，则 am·an=ap·aq
17、等比数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
18、两个等差数列与的和差的数列{an+bn}仍为等差数列。
19、两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列
{an·bn}、{an/bn} 、{1/(an·bn)} 仍为等比数列。
20、等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
21、等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；
四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3
四、数列求和的常用方法：
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)
24、分组法求数列的和：如an=2n+3n
25、错位相减法求和：如an=n·2^n
26、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
27、倒序相加法求和：如an= n
28、求数列的最大、最小项的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)
29、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当 a1>0,d<0时，满足的项数m使得Sm取最大值.
(2)当 a1<0,d>0时，满足的项数m使得Sm取最小值.
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
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时间：2022-06-17 20:01
1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.
2、了解数列是自变量为正整数的一类函数.
3、 理解等差数列、等比数列的概念.
4、掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.
5、能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
6、了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
三、知识要点：
（一）数列的概念
1、定义：按一定顺序排列的一列数，如1，1，2，3，5，…，an，…，可简记为{an}
注：数列可以看作是定义在N*或其子集{1，2，3，…，n}上的函数，与以前常见函数的不同主要在于：
(1)定义域是离散的因而其图象也是离散的单点集；
(2)有序。
2、数列的表示：
(1)列举法：如-2，-5，-8，…
注：数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。
(2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。
(3)解析式法：类似于函数的解析法，数列的解析法就是给出了数列的通项公式an=f(n)，n∈N*。
注：①并不是每个数列都能写出它的数列通项公式；
②数列的通项如果存在，也不一定唯一。
(4)递推：利用数列的第n项与它前面若干项的关系及初始值确定。如an=an-1+an-2(n≥3)，且a1=1，a2=1.
注：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。
3、数列的分类：
（1）按项数：有限数列和无限数列
（2）按单调性：常数列、摆动数列、单调数列(递增数列、递减数列)
4、任意数列的前n项和，于是，
所以有：
注：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：
（1）求，
（2）求出当n≥2时的，
（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。
（二）等差数列
1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.
认知：
(1)｛｝为等差数列(n∈N※)－=d (n2, n∈N※)（ d为常数）
(2)等差中项：若三个数a，x，b成等差，则x称为数a，b的等差中项。
注：任意实数a，b的等差中项存在且唯一，为
(3)证数列{}是等差数列的方法：
(1) (n≥2) （ d为常数）；
(2) 为和的等差中项。
2.通项公式：
(归纳法和迭加法) ；
推广：
认知：｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b (n)
注：
①式中、、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。
②公式特征：等差数列{}中=kn+b是关于n的一次函数(或常数函数)，一次项系数k为公差d。
③几何意义：点(n，)共线；当k=d>0时，{}为递增数列；当k=d<0时，{}为递减数列；
当k=d=0时，{}为常数列。
3.前n项和公式：
；
注：式中有三个就可以利用方程得出余下的二个。
认知：｛｝为等差数列为n的二次函数且常数项为0=+bn(n)
发展：
(1)求等差数列前n项和的最大、最小值。(函数思想)
(2)整体代换，如等差数列中，。
(3)设分别是等差数列、的前n项和，若
4.性质：
（1）对于m，n，p，q∈N*，若m+n=p+q，则；
特别，若m+n=2p，则
（2）公差为d的等差数列中，连续k项和，… 组成公差为k2d的等差数列。
5. 解题策略：（1）方程思想，（2）两式相加减，消元化简；
（三）等比数列
1、概念：
2、通项公式：（方程观点：知二求一；函数观点：函数的图象上一群孤立的点）
3、前项和公式：，公式的五个量中，知三可求二.
4、等比数列及其前项和的主要性质：
（1）等比中项：；
（2）
（3）若，则.
（4）等比数列中，若.
（5）等比数列中，为前项和，成等比数列，
且
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时间：2022-06-17 20:02
Sn*S3n=(S2n)^2
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时间：2022-06-17 20:02
