用正难则反思想求互斥事件的概率
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发布时间：2023-09-17 16:13
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时间：2024-11-16 00:32
使用情景：求互斥事件的概率．
解题步骤：
第一步 首先要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义；
第二步 然后正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式；
第三步 得出结论.
例1. 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
【解析】
（1）由已知得 所以 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 （分钟）
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”， 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
【总结】 (1)对统计表的信息不理解，错求x，y难以用样本平均数估计总体．(2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误.
例2、有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．
(1)求取得的两个球颜色相同的概率；
(2)求取得的两个球颜色不相同的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】从六个球中取出两个球的基本事件:
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(8,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计15个基本事件．
⑴)记事件A为取出的两个球是白球，则这个事件包含的基本事件是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个基本事件,故 '.
记取出的两个球是黑球为事件B，同理可得 ·
记事件C为取出的两个球的颜色相同，则C＝A＋B，且A，B互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得 .
(2)记事件D为取出的两个球的颜色不相同，则事件C，D互斥，根据互斥事件概率之间的关系，得 .
例3、在打靶训练中，某战士射击一次的成绩在9环（包括9环）以上的概率是0.18，在8～9环（包括8环）的概率是0.51，在7～8环（包括7环）的概率是0.15，在6～7环（包括6环）的概率是0.09.计算该战士在打靶训练中射击一次取得8环（包括8环）以上成绩的概率和该战士打靶及格（及格指6环以上包括6环）的概率.
【答案】该战士在打靶训练中射击一次取得8环（包括8环）以上成绩的概率为0.69；及格的概率为0.93.
【解析】
分别记该战士的打靶成绩在9分以上、在8～9分、在7～8分、在6～7分分别为事件B、C、D、E，这4个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，该战士的打靶成绩在8分以上的概率是
.
该战士打靶及格的概率，即成绩在6分以上的概率，由公式得
