怎样理解fama french三因子模型
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发布时间：2022-04-25 20:55
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时间：2022-06-17 07:55
E(Rit) − Rft= βi[E(Rmt− Rft] + siE(SMBt) + hiE(HMIt)
其中Rft表示时间t的无风险收益率；Rmt表示时间t的市场收益率；Rit表示资产i在时间t的收益率；E(Rmt) − Rft是市场风险溢价，SMBt为时间t的市值(Size)因子的模拟组合收益率(Small minus Big)，HMIt为时间t的账面市值比(book—to—market)因子的模拟组合收益率(High minus Low)。
β、si和hi分别是三个因子的系数，回归模型表示如下：
Rit− Rft= ai+ βi(Rmt− Rft) + SiSMBt+ hiHMIt+ εit
但是，我们应该看到，三因子模型并不代表资本定价模型的完结，在最近的研究发现，三因子模型中还有很多未被解释的部分，如短期反转、中期动量、波动、偏度、*等因素。
热心网友
时间：2022-06-17 07:56
原文链接：http://tecdat.cn/?p=20360
本文将说明金融数学中的R 语言优化投资组合，因子模型的实现和使用。
具有单一市场因素的宏观经济因素模型
我们将从一个包含单个已知因子（即市场指数）的简单示例开始。该模型为
其中显式因子ft为S＆P 500指数。我们将做一个简单的最小二乘（LS）回归来估计截距α和加载β：
大多数代码行用于准备数据，而不是执行因子建模。让我们开始准备数据：
# 设置开始结束日期和股票名称列表begin_date <- "2016-01-01"end_date <- "2017-12-31"# 从YahooFinance下载数据data_set <- xts()for (stock_index in 1:length(stock_namelist))data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index], from = begin_date, to = end_date, head(data_set)#> AAPL AMD ADI ABBV AEZS A APD AA CF#> 2016-01-04 98.74225 2.77 49.99239 49.46063 4.40 39.35598 107.89010 23.00764 35.13227#> 2016-01-05 96.26781 2.75 49.62508 49.25457 4.21 39.22057 105.96097 21.96506 34.03059#> 2016-01-06 94.38389 2.51 47.51298 49.26315 3.64 39.39467 103.38042 20.40121 31.08988#> 2016-01-07 90.40047 2.28 46.30082 49.11721 3.29 37.72138 99.91463 19.59558 29.61520#> 2016-01-08 90.87848 2.14 45.89677 47.77789 3.29 37.32482 99.39687 19.12169 29.33761#> 2016-01-11 92.35001 2.34 46.98954 46.25827 3.13 36.69613 99.78938 18.95583 28.14919head(SP500_index)#> index#> 2016-01-04 2012.66#> 2016-01-05 2016.71#> 2016-01-06 1990.26#> 2016-01-07 1943.09#> 2016-01-08 1922.03#> 2016-01-11 1923.67plot(SP500_index)
# 计算股票和SP500指数的对数收益率作为显式因子X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)N <- ncol(X) # 股票数量T <- nrow(X) # 天数
现在我们准备进行因子模型拟合。LS拟合很容易在R中实现，如下所示：
beta <- cov(X,f)/as.numeric(var(f))alpha <- colMeans(X) - beta*colMeans(f)sigma2 <- rep(NA, N)print(alpha)#> index#> AAPL 0.0003999086#> AMD 0.0013825599#> ADI 0.0003609968#> ABBV 0.0006684632#> AEZS -0.0022091301#> A 0.0002810616#> APD 0.0001786375#> AA 0.0006429140#> CF -0.0006029705print(beta)#> index#> AAPL 1.0957919#> AMD 2.1738304#> ADI 1.2683047#> ABBV 0.9022748#> AEZS 1.7115761#> A 1.3277212#> APD 1.0239453#> AA 1.8593524#> CF 1.5702493
或者，我们可以使用矩阵表示法进行拟合，我们定义和扩展因子。然后最小化
t(X) %*% F_ %*% solve(t(F_) %*% F_)#> alpha beta#> AAPL 0.0003999086 1.0957919#> AMD 0.0013825599 2.1738304#> ADI 0.0003609968 1.2683047#> ABBV 0.0006684632 0.9022748#> AEZS -0.0022091301 1.7115761#> A 0.0002810616 1.3277212#> APD 0.0001786375 1.0239453#> AA 0.0006429140 1.8593524#> CF -0.0006029705 1.5702493E <- xts(t(t(X) - Gamma %*% t(F_)), index(X)) # 残差
另外，我们可以简单地使用R为我们完成工作：
cbind(alpha = factor_model$alpha, beta = factor_model$beta)#> alpha index#> AAPL 0.0003999086 1.0957919#> AMD 0.0013825599 2.1738304#> ADI 0.0003609968 1.2683047#> ABBV 0.0006684632 0.9022748#> AEZS -0.0022091301 1.7115761#> A 0.0002810616 1.3277212#> APD 0.0001786375 1.0239453#> AA 0.0006429140 1.8593524#> CF -0.0006029705 1.5702493
可视化协方差矩阵
有趣的是，可视化对数收益率[算术处理误差]以及残差Ψ的估计协方差矩阵。让我们从对数收益率的协方差矩阵开始：
main = "单因子模型对数收益的协方差矩阵")
我们可以观察到所有股票都是高度相关的，这是市场因素的影响。为了检查股票相关关系，我们绘制相关图：
plot(cov2cor(Psi),main = "残差协方差矩阵")
cbind(stock_namelist, sector_namelist) # 股票的行业#> stock_namelist sector_namelist #> [1,] "AAPL" "Information Technology"#> [2,] "AMD" "Information Technology"#> [3,] "ADI" "Information Technology"#> [4,] "ABBV" "Health Care" #> [5,] "AEZS" "Health Care" #> [6,] "A" "Health Care" #> [7,] "APD" "Materials" #> [8,] "AA" "Materials" #> [9,] "CF" "Materials"
有趣的是，我们可以观察到对Ψ执行的自动聚类可以正确识别股票的行业。
评估投资资金
在此示例中，我们将基于因子模型评估几种投资基金的绩效。我们将标准普尔500指数作为明确的市场因素，并假设无风险收益为零 rf = 0。特别是，我们考虑六种交易所买卖基金（ETF）：
我们首先加载数据：
# 设置开始结束日期和股票名称列表begin_date <- "2016-10-01"end_date <- "2017-06-30"# 从YahooFinance下载数据data_set <- xts()for (stock_index in 1:length(stock_namelist))data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],head(data_set)#> SPY XIVH SPHB SPLV USMV JKD#> 2016-10-03 203.6610 29.400 31.38322 38.55683 42.88382 119.8765#> 2016-10-04 202.6228 30.160 31.29729 38.10687 42.46553 119.4081#> 2016-10-05 203.5195 30.160 31.89880 38.02249 42.37048 119.9421#> 2016-10-06 203.6610 30.160 31.83196 38.08813 42.39899 120.0826#> 2016-10-07 202.9626 30.670 31.58372 37.98500 42.35146 119.8296#> 2016-10-10 204.0197 31.394 31.87970 38.18187 42.56060 120.5978head(SP500_index)#> index#> 2016-10-03 2161.20#> 2016-10-04 2150.49#> 2016-10-05 2159.73#> 2016-10-06 2160.77#> 2016-10-07 2153.74#> 2016-10-10 2163.66# 计算股票和SP500指数的对数收益率作为显式因子X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)N <- ncol(X) # 股票数量T <- nrow(X) # 天数
现在我们可以计算所有ETF的alpha和beta：
#> alpha beta#> SPY 7.142225e-05 1.0071424#> XIVH 1.810392e-03 2.4971086#> SPHB -2.422107e-04 1.5613533#> SPLV 1.070918e-04 0.6777149#> USMV 1.166177e-04 0.6511667#> JKD 2.569578e-04 0.8883843
现在可以进行一些观察：
SPY是S＆P 500的ETF，如预期的那样，其alpha值几乎为零，beta值几乎为1： α= 7.142211×10-5和 β= 1.0071423。
XIVH是具有高alpha值的ETF，计算出的alpha值是ETF中最高的（高1-2个数量级）： α= 1.810392×10-3。
SPHB是一种ETF，据推测具有很高的beta，而计算出的beta却是最高的，但不是最高的：β= 1.5613531。有趣的是，计算出的alpha为负，因此，该ETF应谨慎。
SPLV是降低波动性的ETF，实际上，计算得出的beta偏低：β= 0.6777072。
USMV还是降低波动性的ETF，实际上，计算出的beta是最低的：β= 0.6511671。
JKD显示出很好的折衷。
我们可以使用一些可视化：
barplot(rev(alpha), horiz = TRUE, main = "alph请点击输入图片描述
我们还可以使用例如Sharpe比率，以更系统的比较不同的ETF。回顾一种资产和一个因素的因子模型
请点击输入图片描述
我们获得
请点击输入图片描述
夏普比率如下：
请点击输入图片描述
假设。因此，基于Sharpe比率对不同资产进行排名的一种方法是根据α/β比率对它们进行排名：
请点击输入图片描述
print(ranking)#> alpha/beta SR alpha beta#> XIVH 7.249952e-04 0.13919483 1.810392e-03 2.4971086#> JKD 2.892417e-04 0.17682677 2.569578e-04 0.8883843#> USMV 1.790904e-04 0.12280053 1.166177e-04 0.6511667#> SPLV 1.580189e-04 0.10887903 1.070918e-04 0.6777149#> SPY 7.091574e-05 0.14170591 7.142225e-05 1.0071424#> SPHB -1.551287e-04 0.07401566 -2.422107e-04 1.5613533可以看到：
就α/β而言，XIVH最佳（α最大），而SPHB最差（α负）。
就夏普比率（更确切地说，是信息比率，因为我们忽略了无风险利率）而言，JDK是最好的，其次是SPY。这证实了大多数投资基金的表现不超过市场的观点。
显然，无论以哪种衡量标准，SPHB都是最差的：负α，负β比率和Sharpe比率。
JDK之所以能够取得最佳性能，是因为它的alpha值很好（尽管不是最好的），而同时具有0.88的中等beta值。
XIVH和SPHB有大量不同的beta，因此在市场上具有极端敞口。
USMV在市场上的曝光率最小，有可接受的alpha值，并且其Sharpe比率接近第二和第三高的位置。
Fama-French三因子模型
该示例将说明使用标准普尔500指数中的九种股票的Fama-French三因子模型。让我们从加载数据开始：
# 设置开始结束日期和股票名称列表begin_date <- "2013-01-01"end_date <- "2017-08-31"# 从YahooFinance下载数据data_set <- xts()for (stock_index in 1:length(stock_namelist))data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],# 下载Fama-French因子head(fama_lib)#> Mkt.RF SMB HML#> 1926-07-01 0.10 -0.24 -0.28#> 1926-07-02 0.45 -0.32 -0.08#> 1926-07-06 0.17 0.27 -0.35#> 1926-07-07 0.09 -0.59 0.03#> 1926-07-08 0.21 -0.36 0.15#> 1926-07-09 -0.71 0.44 0.56tail(fama_lib)#> Mkt.RF SMB HML#> 2017-11-22 -0.05 0.10 -0.04#> 2017-11-24 0.21 0.02 -0.44#> 2017-11-27 -0.06 -0.36 0.03#> 2017-11-28 1.06 0.38 0.84#> 2017-11-29 0.02 0.04 1.45#> 2017-11-30 0.82 -0.56 -0.50# 计算股票的对数收益率和Fama-French因子X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)N <- ncol(X) #股票数量现在我们在矩阵F中具有三个因子，并希望拟合模型，其中现在的载荷是一个beta矩阵：。我们可以做最小二乘拟合，最小化。更方便地，我们定义和扩展因子 。然后可以将LS公式写为最小化
请点击输入图片描述
print(Gamma)#> alpha b1 b2 b3#> AAPL 1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858#> AMD 6.181760e-04 1.4062105 0.80738336 -0.07240117#> ADI -2.285017e-05 1.2124008 0.09025928 -0.20739271#> ABBV 1.621380e-04 1.0582340 0.02833584 -0.72152627#> AEZS -4.513235e-03 0.6989534 1.31318108 -0.25160182#> A 1.146100e-05 1.2181429 0.10370898 -0.20487290#> APD 6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061 0.11060938#> AA -4.587722e-05 1.3391852 0.62590136 0.99858692#> CF -5.777426e-04 1.0387867 0.48430007 0.82014523另外，我们可以使用R完成：
#> alpha Mkt.RF SMB HML#> AAPL 1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858#> AMD 6.181760e-04 1.4062105 0.80738336 -0.07240117#> ADI -2.285017e-05 1.2124008 0.09025928 -0.20739271#> ABBV 1.621380e-04 1.0582340 0.02833584 -0.72152627#> AEZS -4.513235e-03 0.6989534 1.31318108 -0.25160182#> A 1.146100e-05 1.2181429 0.10370898 -0.20487290#> APD 6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061 0.11060938#> AA -4.587722e-05 1.3391852 0.62590136 0.99858692#> CF -5.777426e-04 1.0387867 0.48430007 0.82014523统计因子模型
现在让我们考虑统计因子模型或隐式因子模型，其中因子和载荷均不可用。调用具有 K因子的模型 XT =α1T+ BFT + ET的主成分方法：
PCA：
样本均值：
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矩阵：
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样本协方差矩阵：
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特征分解：
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估计：
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更新特征分解：
请点击输入图片描述
重复步骤2-3，直到收敛为止。
#> alpha #> AAPL 0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226#> AMD 0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146 0.0114549515#> ADI 0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139#> ABBV 0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810#> AEZS -0.0041576357 0.0769496344 0.002935950 0.0006249473#> A 0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654#> APD 0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394#> AA 0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957#> CF -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661同样，我们可以使用R完成工作：
#> alpha factor1 factor2 factor3#> AAPL 0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226#> AMD 0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146 0.0114549515#> ADI 0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139#> ABBV 0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810#> AEZS -0.0041576357 0.0769496344 0.002935950 0.0006249473#> A 0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654#> APD 0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394#> AA 0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957#> CF -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661通过不同因子模型进行协方差矩阵估计的最终比较
我们最终将比较以下不同的因子模型：
样本协方差矩阵
宏观经济一因素模型
基本的三因素Fama-French模型
统计因素模型
我们在训练阶段估计模型，然后将估计的协方差矩阵与测试阶段的样本协方差矩阵进行比较。估计误差将根据PRIAL（平均损失提高百分比）进行评估：
请点击输入图片描述
加载训练和测试集：
# 设置开始结束日期和股票名称列表begin_date <- "2013-01-01"end_date <- "2015-12-31"# 准备股票数据data_set <- xts()for (stock_index in 1:length(stock_namelist))data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],# Fama-French 因子mydata <- mydata[-nrow(mydata),# 准备指数f_SP500 <- diff(log(SP500_index), na.pad = FALSE)# 将数据拆分为训练数据和测试数据T_trn <- round(0.45*T)X_trn <- X[1:T_trn, ]X_tst <- X[(T_trn+1):T, ]现在让我们用训练数据估算不同的因子模型：
# 样本协方差矩阵Sigma_SCM <- cov(X_trn)# 单因素模型Gamma <- t(solve(t(F_) %*% F_, t(F_) %*% X_trn))E <- xts(t(t(X_trn) - Gamma %*% t(F_)), index(X_trn))# Fama-French三因子模型Sigma_FamaFrench <- B %*% cov(F_FamaFrench_trn) %*% t(B) + diag(diag(Psi))# 统计单因子模型while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {B <- eigSigma$vectors[, 1:K, drop = FALSE] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)# 统计三因子模型K <- 3while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {B <- eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))Sigma_PCA3 <- Sigma# 统计五因子模型K <- 5eigSigma <- eigen(Sigma)while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {B <- eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))最后，让我们比较测试数据中的不同估计：
Sigma_true <- cov(X_tst)barplot(error, main = "协方差矩阵估计误差",请点击输入图片描述
PRIAL <- 100*(ref - error^2)/refbarplot(PRIAL, main = "协方差矩阵估计的先验方法",
请点击输入图片描述
最终可以看到使用因子模型进行协方差矩阵估计会有所帮助。
请点击输入图片描述
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