所有自然数倒数的平方相加=(π^2)/6,是如何来的。
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发布时间：2023-09-24 21:22
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时间：2024-11-29 10:50
高等数学下册(同济第五版)246页有证明。
傅里叶级数的方法如下：设f(x)=x^2, x∈[0,π],将f(x)展开成以π为周期的傅里叶级数
f(x)=a0/2+∑(ancos2nx+bnsin2nx)
an=2/π∫[-π/2,π/2] x^2cos2nxdx
分布积分可求出an=1/n^2 (n=1,2,3,……)
a0=2/π∫[-π/2,π/2] x^2dx=(2/3)π^2
同样bn=2/π∫[-π/2,π/2] x^2sin2nxdx=-π/n (n=1,2,3……)
于是f(x)=x^2展开式为(π^2)/3+∑((cos2nx)/n^2-(πsin2nx)/n), (0<x<π)
取x=0，傅里叶级数收敛于[f(0+0)+f(π-0)]/2=(π^2)/2,
代入得(π^2)/2=(π^2)/3+∑1/n^2
∑1/n^2=(π^2)/6
