如图,在直角三角形abc中,角a=90度,d是ab边上一点,e是bc中点
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发布时间：2023-07-12 22:36
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时间：2024-11-23 23:58
已知：⊿ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,E,F分别在AC和BC边上,且：EF²=AE²+BF²
求证：ED⊥EF.
证明：过A做AG∥BC,交FD的延长线于G,连接EG.如图.
∵AG∥BC（所做）,∠C=90°（已知）
∴∠CAG=90°（两平行线与第三条直线相交,同旁内角互补）
且∠DAG=∠DBF,∠DGA=∠DFB（两平行线与第三条直线相交,内错角相等）
∵AD=BD（已知）
∴⊿ADG≌⊿BDF（两角和一边对应相等,两三角形全等）
∴DG=DF,AG=BF（全等三角形对应边相等）
∵EG²=AE²+AG²（勾股定理）
∴EG²=AE²+BF²（等量公理）
∵EF²=AE²+BF²（已知）
∴EG=EF（等量公理）
∴⊿EGF是等腰三角形（等腰三角形定义：两边相等的三角形是等腰三角形）
∴ED⊥EF（等腰三角形底边中线和垂线重合）
