初二数学 旋转 三角形

发布网友 发布时间：2023-07-06 18:42

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1.

∵△ABC中AB=AC,∠BAC=90度，P是BC的中点

∴AP⊥BC，AP=PC

∴∠APF=∠APC-∠FPC=30°

∵∠EPF=90°

∴∠EPA=∠EPF-∠APF=60°

∴∠EPA=∠FPC

∵∠APC=∠APB=90°，∠ACP=∠ABP=45°

∴∠PAC=∠BAP=45°

∴∠PCF=∠PAE

∵上述证明的AP=PC，∠EPA=∠FPC及∠PCF=∠PAE

∴△PFC≌△PEA

∴PE=PF=3

∵∠EPF=90°

∴△PEF为等腰直角三角形

∴∠PEF=45°

∵∠EPA=60°

在△APB中，∠EPB=∠APB-∠EPA=30°

∴在△BPE中，∠BEP=180°-∠EPB-∠PBE=105°

∴∠AEF=180°-∠PEF-∠BEP=30°

∵△PEF为等腰直角三角形且PE=PF=3

∴根据勾股定理，EF²=PE²+PF²=3√2

2.

（1）

∵△ABC为等边三角形

∴∠ACB=60°

∵△BDC绕点C旋转后得到△AEC

∴△BDC≌△AEC

∴∠DCB=∠ECA，CD=CE，∠AEC=∠BDC=160°

∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°

∴∠ACD+∠ECA=∠ECD=60°

∵上述证明CD=CE且∠ECD=60°

∴△CDE为等边三角形

∴∠CED=60°

∴∠AED=∠AEC-∠CED=100°

∵△CDE为等边三角形

∴ED=DC=3

（2）

∵△AEC≌△BDC

∴∠DCB=∠ECA，CD=CE=DE=3，BD=AE=4

∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°

∴∠ACD+∠ECA=∠ECD=60°

∵上述证明CD=CE且∠ECD=60°

∴△CDE为等边三角形

∴∠CED=60°

∵AE=4，DE=3，AD=5

∴△AED为直角三角形，∠AED=90°

∴∠AEC=∠AED+∠DEC=150°

3.

∵△ABC为等边三角形

∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°

∵△ABD绕点B旋转后得到△CBE

∴△ABD≌△CBE

∴AD=CE，∠BAD=∠BCE

∵∠ADC=120°

∴在△ACD中，∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC=60°

∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+∠CAD=∠BCE

∴∠BCE+∠ACB+∠ACD=60°+∠CAD+60°+∠ACD=180°

∴点D、C、E在同一条直线上。

∴DE=DC+CE=5

∵△ABD≌△CBE

∴∠ABD=∠CBE，DB=BE

∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC=∠DBE=60°

∵以上证明∠DBE=60°，BD=BE

∴△DBE为等边三角形

∴BD=DE=5，∠BDE=60°

∴∠ADB=∠ADC-∠BDE=60°