在三角形中,三个角的余弦平方后相加得一,证明是直角三角形
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发布时间:2023-07-05 20:39
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热心网友
时间:2023-10-10 08:20
设三个角分别为α,β,γ,则γ=π-α-β,cos²γ=cos²(π-α-β)=cos²(α+β)
所以cos²α+cos²β+cos²(α+β)=1,cos²(α+β)=1-sin²(α+β)
所以cos²α+cos²β+1-sin²(α+β)=1,即cos²α+cos²β=sin²(α+β)
右边用和角公式展开,
sin²(α+β)=[sinαcosβ+sinβcosα]²=sin²αcos²β+sin²βcos²α+2sinαsinβcosβcosα
=左边=cos²α+cos²β
移项并根据sin²α+cos²α=1,sin²β+cos²β=1,可得sinαsinβ=cosαcosβ,即cos(α+β)=0,所以α+β=90°,所以是直角三角形。
热心网友
时间:2023-10-10 08:20
设三个角分别为α,β,γ
由已知 ,cos²α+cos²β+cos²γ=1
=> (1+ cos2α)/2 +(1+cos2β)/2 +cos²(α+β)=1
=> ( cos2α+cos2β)/2 +cos²(α+β)=0
=> cos(α+β)cos(α-β)+cos²(α+β)=0
=> cos(α+β)[cos(α-β)+cos(α+β)]=0
=>cos(α+β)2cosαcosβ = 0
=>cos(α+β)=0 或 cosα=0 或 cosβ =0
=>α+β=π/2 或 α=π/2 或 β =π/2
=>即α 、 β 、γ=π-(α+β)有一个角为 π/2
所以△是直角三角形