在三角形中,三个角的余弦平方后相加得一,证明是直角三角形

发布网友发布时间：2023-07-05 20:39

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热心网友时间：2023-10-10 08:20

设三个角分别为α，β，γ，则γ=π-α-β，cos²γ=cos²（π-α-β）=cos²（α+β）
所以cos²α+cos²β+cos²（α+β）=1，cos²（α+β）=1-sin²（α+β）
所以cos²α+cos²β+1-sin²（α+β）=1，即cos²α+cos²β=sin²（α+β）
右边用和角公式展开，
sin²（α+β）=[sinαcosβ+sinβcosα]²=sin²αcos²β+sin²βcos²α+2sinαsinβcosβcosα
=左边=cos²α+cos²β
移项并根据sin²α+cos²α=1，sin²β+cos²β=1，可得sinαsinβ=cosαcosβ，即cos（α+β）=0，所以α+β=90°，所以是直角三角形。

热心网友时间：2023-10-10 08:20

设三个角分别为α，β，γ
由已知，cos²α+cos²β+cos²γ=1
=> (1+ cos2α）/2 +(1+cos2β）/2 +cos²（α+β）=1
=> ( cos2α+cos2β）/2 +cos²（α+β）=0
=> cos(α+β)cos(α-β)+cos²（α+β）=0
=> cos(α+β)[cos(α-β)+cos（α+β）]=0
=>cos(α+β)2cosαcosβ = 0
=>cos(α+β)=0 或 cosα=0 或 cosβ =0
=>α+β=π/2 或 α=π/2 或 β =π/2
=>即α 、 β 、γ=π-(α+β)有一个角为 π/2
所以△是直角三角形