为什么可导函数的导函数不一定是连续函数?高等数学

发布网友发布时间：2022-04-24 14:46

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热心网友时间：2023-10-17 03:23

可导函数的导函数不一定连续，举反例如下：
设分段函数f(x)：
当x≠0时，f(x)=x^2*sin(1/x)
当x=0时，f(x)=0
因为lim(x->0-)f(x)=lim(x->0+)f(x)=f(0)=0，所以f(x)在x=0处连续
当x≠0时，f'(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)
lim(x->0-)f'(x)和lim(x->0+)f'(x)都不存在，所以f'(x)在x=0处不连续

热心网友时间：2023-10-17 03:23

反例:函数f(x)：
当x不等于0时,f(x)=x^2*sin(1/x);
当x=0时，f(x)=0.
这个函数在(-∞,+∞)处处可导.
导数是f'(x):
当x不等于0时,f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x);
当x=0时，f'(x)=lim{[f(x)-f(0)]/(x-0),x->0}=lim[xsin(1/x),x->0]=0.
lim[f'(x),x->0]不存在，所以在x=0这一点处,f'(0)存在但f'(x)不连续.

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