求二重极限

发布网友 发布时间：2023-07-08 07:40

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热心网友 时间：2024-03-30 17:59

1、令xy=u，则x=u/y
原极限化为：
lim[u→0，y→2] y³(u-sinu)/u³
=lim[u→0，y→2] y³lim[u→0，y→2] (u-sinu)/u³
=8lim[u→0] (u-sinu)/u³
这样化为一元函数极限问题，下面洛必达法则就行了。
=8lim[u→0] (1-cosu)/(3u²)
=8lim[u→0] (1/2)u²/(3u²)
=4/3

2、分子极限为1，分母极限为0，因此结果是无穷大。这个题直接写结果就行，不用过程。

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热心网友 时间：2024-03-30 17:59

1) 先对y取极限，
=lim(2x-sin2x)/x^3
上式为0比0形式，应用洛必达法则
=lim(2-2cos2x)/3x^2
再次应用洛必达法则
=lim 4sin2x/6x=4/3

2) 极限不存在。

热心网友 时间：2024-03-30 18:00

(1)
lim(xy-sin(xy))/x^3[x->0,y->2] <===>
lim(2x-sin(2x))/x^3[x->0] <===> 求导
lim(2-2cos(2x))/(3x^2)[x->0] <====> 求导
lim4sin(2x)/(6x)[x->0]<=====>
(4/3)lim sin(2x)/(2x)[x->0] =4/3

(2)

<====> lim x/sin(x-1)[x->1] =oo(无穷大)

热心网友 时间：2024-03-30 18:00

1）原式子=lim（2x-sin2x）/x^3
然后把sin2x改写成泰勒公式，到x^3阶即可算出来。
2）原式子=lim（x）/sin（x-1）=lim1/sin（x-1）
因为limsin(x-1)在x->1的时候，sin（x-1）=0；
所以，原式子类似1/0的形式，值为无穷大，所以不存在值。

热心网友 时间：2024-03-30 18:01

(1) 原式=lim<x→0,y→2>y³*(xy-sinxy)/(xy)³=lim<t→0,y→2>y³*(t-sint)/t³=lim<t→0,y→2>y³*(1-cost)/3t²=lim<t→0,y→2>y³*sint)/6t=lim<t→0,y→2>y³*(1/6)lim<t→0,y→2>sint/t=8*1/6=4/3；
(2)分子极限是1，分母极限是0，故原极限不存在.

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