r(AB)>=r(A)+r(B)-n

发布网友发布时间：2022-04-19 09:56

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热心网友时间：2023-08-27 16:12

AB=0 r(A)+r(B)<=n的证明如下：

这里与齐次线性方程的基础解系有关

AB=0，则说明B的列向量都是AX=0的解

因此B的列向量是AX=0解集的子集

则B列向量组的秩，不大于方程组AX=0的基础解系的个数，即n-r(A)

即r(B)<= n-r(A)

因此：r(A)+r(B)<=n

扩展资料：

关于秩和基础解系的文字说明：

基础解系是线性方程组所有解的最大无关组，

根据最大无关组的定义，任何一组解向量，都可以用基础解系线性表示。

所以，任何一组解向量(无论多少个)，它的秩都不大于基础解系中解向量的个数。

秩和基础解系的关系：

如果该行列式为一个n阶行列式，

那计算得到的基础解系的解向量为你的n减去秩的数量、

简单的说，得出来的解向量的个数为你的零行数，

而你的非零行的函数是所求的秩。

参考资料来源：百度百科-矩阵的秩

热心网友时间：2023-08-27 16:13

因为A*A=A，所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程 Ax=0的解，由于A-E中的列向量未必构成解空间的基，所以R(A)+R(A-E)小于等于n；又由R(A)+R(B)>=R(A+B)；立刻可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)>=R(A+E-A)=R(E)=n;所以R(A)+R(A-E)=n.

r(AB)&gt;=r(A)+r(B)-n

r(AB)>=r(A)+r(B)-n