高中数学集合知识总结
发布网友
发布时间：2022-04-25 12:51
共2个回答
热心网友
时间：2024-03-12 13:23
热心网友
时间：2024-03-12 13:23
一．课标要求：
1．集合的含义与表示
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
2．集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；
3．集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
二．命题走向
有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。
高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：（1）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。
三．要点精讲
1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。
（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作 ；若b不是集合A的元素，记作 ；
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（4）常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。
2．集合的包含关系：
（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A B（或 ）；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A B且B A，则称A等于B，记作A=B；若A B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；
（2）简单性质：1）A A；2） A；3）若A B，B C，则A C；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；
3．全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；
（2）若S是一个集合，A S，则， = 称S中子集A的补集；
（3）简单性质：1） ( )=A；2） S= ， =S。
4．交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集 。
（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。 。
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
5．集合的简单性质：
（1） （2）
（3） （4） ；
（5） （A∩B）=（ A）∪（ B）， （A∪B）=（ A）∩（ B）。
四．典例解析
题型1：集合的概念
例1．设集合 ，若 ，
解：由于 中 只能取到所有的奇数，而 中18为偶数。则 。
例2．设集合P={m|－1＜m≤0 ，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立 ，则下列关系中成立的是P Q
解：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立＝，对m分类：
①m=0时，－4＜0恒成立；
②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得m＜0。
综合①②知m≤0，
∴Q={m∈R|m≤0}。
点评：该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。集合 中含有参数m，需要对参数进行分类讨论，不能忽略m=0的情况。
题型2：集合的性质
例3．（2000广东，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（ ）
点评：该题考察集合子集个数公式。注意求真子集时千万不要忘记空集 是任何非空集合的真子集。同时，A不是A的真子集。
变式题：同时满足条件：① ②若 ，这样的集合M有多少个，举出这些集合来。
答案：这样的集合M有8个。
例4．已知全集 ，A={1, }如果 ，则这样的实数 是否存在？若存在，求出 ，若不存在，说明理由。
解：∵ ；
∴ ，即 ＝0，解得
当 时， ，为A中元素；
当 时，
当 时， ∴这样的实数x存在，是 或 。
另法：∵
∴ ，
∴ ＝0且 ∴ 或 。
点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当 时， ”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号 是两层含义： 。
变式题：已知集合 ， , ,求
解：由 可知，
（1） ，或（2）
解（1）得 ，
解（2）得 ，
又因为当 时， 与题意不符，所以， 。
题型3：集合的运算
例6．（06安徽理，1）设集合 ， ，则 等于（ ）
解： ， ，所以 。
题型4：图解法解集合问题
例7．（2003上海春，5）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且A B，则实数a 图
的取值范围是____ _。
解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又A B，利用数轴上覆盖关系：如图所示，因此有a≤－2。
例8．（1996全国理，1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，则I＝A∪（ B ）
解：方法一： A中元素是非2的倍数的自然数， B中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有C选项正确.
图
方法二：因A＝｛2，4，6，8…｝，B＝｛4，8，12，16，…｝，所以 B＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I＝A∪ B，故答案为C.
方法三：因B A，所以（ ）A （ ）B，（ ）A∩（ B）＝ A，故I＝A∪（ A）＝A∪（ B）。
方法四：根据题意，我们画出Venn图来解，易知B A，如图：可以清楚看到I=A∪（ B）是成立的。
点评：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求。
题型5：集合的应用
例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
解：赞成A的人数为50× =30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+( +1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8
点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。
例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？
解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件
的数共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)
－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)
＋(200÷30)＝146
所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）
点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。
题型7：集合综合题
例11．（1999上海，17）设集合A={x||x－a|<2}，B={x| <1}，若A B，求实数a范围。
解：由|x－a|<2，得a－2<x<a+2，所以A={x|a－2<x<a+2}。
由 <1，得 <0，即－2<x<3，所以B={x|－2<x<3}。
因为A B，所以 ，于是0≤a≤1。
点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。
例12．已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an, )|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}。
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：
（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
（2）A∩B至多有一个元素；（3）当a1≠0时，一定有A∩B≠ 。
解：（1）正确；在等差数列{an}中，Sn= ,则 (a1+an),这表明点(an, )的坐标适合方程y (x+a1),于是点(an, )均在直线y= x+ a1上。
（2）正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组 的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=－4(*)，
当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B= ；
当a1≠0时，方程(*)只有一个解x= ,此时，方程组也只有一解 ,故上述方程组至多有一解。
∴A∩B至多有一个元素。
（3）不正确；取a1=1，d=1，对一切的x∈N*，有an=a1+(n－1)d=n>0, >0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠ ，那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0= ＜0,y0= ＜0，这样的(x0,y0) A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B= ，所以a1≠0时，一定有A∩B≠ 是不正确的。
点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。
变式题：解答下述问题：
（Ⅰ）设集合 ， ,求实数m的取值范围.
分析：关键是准确理解 的具体意义，首先要从数学意义上解释 的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。
解：
的取值范围是 UM={m|m<-2}.
（解法三）设 这是开口向上的抛物线， ，则二次函数性质知命题又等价于
注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。
（Ⅱ）已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},
、B.
分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，
（Ⅲ）
分析：正确理解
要使 ,
由
当k=0时，方程有解 ,不合题意；
当 ①
又由
由 ②，
由①、②得
∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1
点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。
五．思维总结
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。
1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如 、 、 、 、=、 A、∪，∩等等；
2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；
3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
① 区别∈与 、 与 、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
② A B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ。
③若集合A中有n 个元素，则集合A的所有不同的子集个数为 ，所有真子集的个数是 －1, 所有非空真子集的个数是 。
④区分集合中元素的形式：
如 ； ；
； ；
； ；
。
⑤空集是指不含任何元素的集合。 、 和 的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况。
⑥符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。
逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力。
