讨论这个级数的敛散性

发布网友发布时间：2023-08-06 16:22

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热心网友时间：2024-11-23 11:56

　　解：分享一种解法，用等价无穷量替换后，利用p-级数判断。
　　∵n→∞时，1-cos(π/n^p)~(1/2)((π/n^p)^2=[(π^2)/2]/n^(2p)、√(n^2+1)~n，
　　∴∑√(n^2+1)[1-cos(π/n^p)]~[(π^2)/2]∑n/n^(2p)=[(π^2)/2]∑1/n^(2p-1)。
　　∴当2p-1>1，即p>1时，∑1/n^(2p-1)收敛，继而∑√(n^2+1)[1-cos(π/n^p)]收敛；当2p-1<1、p>0，即0<p<1时，∑1/n^(2p-1)发散，继而∑√(n^2+1)[1-cos(π/n^p)]发散。
　　供参考。

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