高数中,区间一定是连续的吗?

发布网友发布时间：2023-08-02 19:07

共3个回答

热心网友时间：2024-02-22 18:30

（编写以下答案花了笔者2小时）
不知提问者具体意图，可能存在概念混淆。“连续”一般只对“连续函数”讨论，一般讨论函数是否是连续的，而一般不讨论“区间”是否是连续的。有如下已证明的事实结论：【初等函数[在其定义域内]一定是连续函数】（除非取定义域本身就不是连续的）
而数学分析里面对“区间”的概念另有定义（介值定理），
“区间”的定义：在区间中任意找两点，在这两个点中间的值，都在这个区间里面能取到。
“连续函数”的定义：任何一点上的函数值，在这点的（左=右）极限等于它本身。。
违背函数连续的情况可能有两种：存在第一类间断点，存在第二类间断点。
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注意：“区间”是一个集合的概念，而“连续函数”是一个集合的映射f的概念。
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提问者提问“区间一定连续吗”，有问题，修改成提问：【“I是一个区间，如果f(I)是个区间，那么f(I)是连续的吗？”】
答案是，不。首先注意：“区间”是一个集合的概念，而“连续函数”是一个集合的映射f的概念。所以只要这个映射f不是单射，就什么情况都有可能发生。
例如分段函数：{f(x)=sin(1/x)（x！=0），0（x=0）}，f(x)在其定义域内，任取两个点，中间的点一定在中间的定义域中能取到。它具有介值性质，f(I)是区间，但f(x→0)极限不存在，存在第二类间断点（震荡间断点），所以它不是连续函数。
→所以f(I)是区间f不一定是连续函数。
但如果反过来对不对呢？如果f是连续函数，f(I)一定是区间。
这一定是的，用反证法吧。f是连续函数，如果f(I)不是区间，由区间定义，f(x)那一定存在定义域上的两个点，存在中间的点在中间的定义域中不能取到。那么又回到连续函数的定义，在这断点的函数左右极限一定不相等。那一定就不是连续函数。
→所以f是连续函数f(I)一定是区间。
结论：若f是连续函数f(I)则一定是区间，而若f(I)是区间则f不一定是连续函数 #

热心网友时间：2024-02-22 18:31

并不是，比如f(x)=1/x的定义域和值域

热心网友时间：2024-02-22 18:31

不是，可以某个段比如(3 ,4)∪(4,5)等形式追问这就是集合了

不是区间