设函数f(x)可微,则lim △x→0 [f^2(x+△x)-f^2(x)]/△x=———, 答 ...

发布网友发布时间：2022-04-25 12:22

共3个回答

热心网友时间：2024-10-20 23:08

lim [f^2（x+h）-f^2(x)]/h ( h→0)
=lim [2f（x+h）f'（x+h） ( h→0) (0/0罗比达法则）
=2f(x)f'(x),
最后一步要求f'(x)连续，本题为填空，如此即可得答案。
正确的解法如下：
lim [f^2（x+h）-f^2(x)]/h ( h→0)
=lim [f(x+h) + f(x)][f(x+h) - f(x)]/h 后面的式子就是导数的定义
=2f(x)f'(x), （f 可导必连续）

热心网友时间：2024-10-20 23:02

[f^2(x)]'=2f(x)f'(x)

热心网友时间：2024-10-20 23:08

有两种想法：第一种比较是直观的想法，根据导数的定义
lim △x→0 [f^2（x+△x）-f^2(x)]/△x其实就是f^2(x)的导函数，于是由复合函数求导法则可知，其导函数为2*f(x)*f'(x)
第二种是分析的方法
由于[f^2（x+△x）-f^2(x)]/△x=[f（x+△x)-f(x)]*[f（x+△x)+f(x)]/△x
=([f（x+△x)-f(x)]/△x))]*[f（x+△x)+f(x)]
所以lim △x→0 [f^2（x+△x）-f^2(x)]/△x=lim △x→0([f（x+△x)-f(x)]/△x))]*[f（x+△x）+f(x)]
=f'(x)* lim △x→0[f（x+△x）+f(x)]
f(x)可微，因此必连续，故lim △x→0[f（x+△x）+f(x)]=f(x)+f(x)=2f(x).
因此lim △x→0 [f^2（x+△x）-f^2(x)]/△x=2*f(x)*f'(x)

热心网友时间：2024-10-20 23:03

热心网友时间：2024-10-20 23:05

[f^2(x)]'=2f(x)f'(x)

热心网友时间：2024-10-20 23:07