一道数学空间几何题

发布网友发布时间：2023-07-25 18:17

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热心网友时间：2024-11-14 02:05

(1)解析：∵P,Q,R分别是AB,BC,CD中点，BD=2√5，AC=4
连接PR，PQ，QR
∴QR//BD，QR=1/2BD=√5；PQ//AC，PQ=1/2AC=2
∴∠PQR就是AC与BD所成角
∵PR=3
由余弦定理cos∠PQR=(QR^2+QP^2-PR^2)/(2QR*QP)=(5+4-9)/(4√5)=0
∴AC与BD所成角为90°

(2)解析：∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，M,N为A1B1,BB1中点
取D1C1,CC1,DC中点P,Q,R
连接B1Q，∴B1Q//CN
连接PR，∴PR⊥底面ABCD
取PR中点S
连接MS，∴MS//B1Q
∴∠AMS为AM与CN所成角
连接AS
AM=MS=√5/2，AS=√(5/4+1/4)= √6/2
∴cos∠AMS=(AM^2+MS^2-AS^2)/(2MA*MS)=1/(5/2)=2/5

热心网友时间：2024-11-14 02:05

(1) 在∆PQR中，PR=3, PQ=1/2*AC=2,
QR=1/2*BD=√5

2^2+(√5)^2=3^2, 所以PQ⊥QR, 得AC⊥BD

(2) 连接PB1, 取BP中点L，连接NL, NL∥PB1∥AM,
所以∠CNL为所求角，记为θ

在∆CNL中，NC=√5/2, NL=1/2PB1=√5/4,
CL=√17/4

COSθ=(NC^2+NL^2-CL^2)/(2*NC*NL)
=(5/4+5/16-17/16)/(5/4)=2/5

热心网友时间：2024-11-14 02:06

取AM中点S，DR中点T,连接ST, 则ST//NC， AS=sqrt(5)/4, ST=sqrt(5)/2,AT=sqrt(17)/4, 根据余弦定理cos(AST)=(AS^2+ST^2-AT^2)/2AS*ST=2/5