为什么可逆矩阵一定可以变成单位矩阵？但如果不可逆，一定有零行，det=0，那矩阵岂不是非1即0？

发布网友发布时间：2023-07-22 14:53

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热心网友时间：2023-09-19 05:13

可逆矩阵一定可以变成单位矩阵，但如果不可逆，一定有零行，det=0，矩阵不是非1即0。

证明：

A的行列式不等于0，而|E|=1，|P|，|Q|不等于0，所以|A|不等于0，A可逆。

A可逆充要条件是|A|不等于0。这里P，Q都是可逆的，所以A=P-1Q-1，A-1=QP。

因为A的行列式等于它的所有特征值的乘积。

所以A可逆｜A｜≠0A的特征值都不等于0。

定理

（1）逆矩阵的唯一性。

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，并记作A的逆矩阵为A-1。

（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r（A）=m。

对n阶方阵A，若r（A）=n，则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵。

（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵。