韦达定理公式是什么211
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发布时间：2023-09-17 19:26
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时间：2024-12-14 20:22
设一元二次方程
中，两根x₁、x₂有如下关系：
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
扩展资料
韦达定理主要应用于求解一元二次方程的两个根的相关问题，这个定理的出现为解决类似问题节约了时间。
韦达定理（），简单来说，就是可以通过一元二次方程的相关系数直接求解根，而上述公式中，a为二次方前面的系数，b为一次方前面的系数，c为常数项，这是比较直接、比较实用的一个方法。
尤其对于那些已知两个根，需要推导出方程的题，更能够看出韦达定理的优势。韦达定理在更高次方程中也是可以使用的，在求解的过程中会涉及到求和公式。
参考资料来源：百度百科-韦达定理
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时间：2024-12-14 20:22
英文名称：Vieta's formulas
韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1*X2=c/a
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中，设两个根为x1，x2 则
X1+X2= -b/a
X1*X2=c/a
用韦达定理判断方程的根
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，
若b^2-4ac<0 则方程没有实数根
若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根
若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0
韦达定理推广
它的根记作X1,X2…，Xn
我们有右图等式组
其中∑是求和，Π是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是，那么
由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程
在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
(x1-x2)的绝对值为√(b^2-4ac)/|a|
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a
（注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数）
可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a
1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a
所以X1﹢X2=-b/a
2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a]
所以X1X2=c/a
（补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2
（扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a
又因为X1.X2的值可以互换，所以则有
X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】
所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a
韦达定理推广的证明
设X1，X2，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。
则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiXi （在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）
通过系数对比可得：
A（n-1）=-An(∑xi)
A（n-2）=An(∑xixi)
…
A0=[(-1) ]×An×ΠXi
所以：∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n)
∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求积。
一元五次方程验证:
已知一个一元五次方程：a1*(x^5)+b*(x^4)+c*(x^3)+d*(x^2)+e*x+f = 0 设该式为形式1
根据高斯的代数原理：上式在复数范围内必可分解成： a1*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*(x-x5)=0 的形式；且x1,x2,x3,x4,x5是该多项式在复数范围内的根。
把上式展开成：
-a1*x1*x2*x3*x4*x5+a1*x*x2*x3*x4*x5+a1*x*x1*x3*x4*x5-a1*(x^2)*x3*x4*x5+a1*x*x1*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x1*x4*x5+a1*(x^3)*x4*x5+a1*x*x1*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x3*x5+a1*(x^3)*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x2*x5+a1*(x^3)*x2*x5+a1*(x^3)*x1*x5-a1*(x^4)*x5+a1*x*x1*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x3*x4+a1*(x^3)*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x4+a1*(x^3)*x2*x4+a1*(x^3)*x1*x4-a1*(x^4)*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x3+a1*(x^3)*x2*x3+a1*(x^3)*x1*x3-a1*(x^4)*x3+a1*(x^3)*x1*x2-a1*(x^4)*x2-a1*(x^4)*x1+a1*(x^5)=0
上述方程可化简成：
a1*(x^5)-(x2+x1+x4+x5+x3)*(x^4)*a1+(x4*x5+x1*x3+x2*x3+x1*x2+x2*x4+x1*x4+x3*x4+x3*x5+x2*x5+x1*x5)*
(x^3)*a1-(x3*x4*x5+x2*x3*x5+x1*x3*x5+x1*x2*x5+x2*x4*x5+x1*x4*x5+x2*x3*x4+x1*x3*x4+x1*x2*x4+x1*x2*x3)*
(x^2)*a1+(x2*x3*x4*x5+x1*x3*x4*x5+x1*x2*x4*x5+x1*x2*x3*x5+x1*x2*x3*x4)*x*a1-x1*x2*x3*x4*x5*a1=0
设化简后的方程为形式3.
最后对比形式1与形式3的x次方相同的数，即可得该多项式根与系数的关系
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时间：2024-12-14 20:23
韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1*X2=c/a
韦达简介
韦达
他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年轻时学习法律当过律师，后从事*活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为*破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”。韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。
韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。他被称为现代代数符号之父。韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。
他的《解析方法入门》一书（1591年），集中了他以前在代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支。他对方程论的贡献是在《论方程的整理和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解法。
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时间：2024-12-14 20:23
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