故障树分析的故障树定量分析
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发布时间：2022-04-26 10:41
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时间：2022-06-27 12:01
故障树定量分析根据各基本事件发生概率求解顶事件发生概率，从而为概率危险性评价提供依据。对于简单的故障树，根据概率论中事件逻辑积与事件逻辑和的概率计算公式，把故障树布尔表达式转变为由基本事件发生概率计算顶事件发生概率的公式。代入基本事件发生概率后，即可算出顶事件发生概率。对于复杂的故障树，人力解算费时费力，往往利用计算机求解。故障树定量分析涉及一些特殊的理论和方法。
相关结构理论由巴洛(R.E.Barlow)和普鲁森(F.Proschan)提出的复杂系统可靠性分析理论，是故障树分析的数学基础。
(1)相关结构。如果故障树中任一基本事件的发生与否都影响顶事件的发生，则称该故障树为相关结构。前述的利用布尔代数法则化简后的故障树是相关结构。事件状态仍然为二值的，只能取0或1中的一个值。具有相关结构的故障树，其顶事件的状态完全取决于基本事件的状态，即顶事件状态是基本事件状态的函数。该函数的形式取决于故障树的结构，故称相关结构函数。包含几个基本事件的故障树，其相关结构函数被称作n阶相关结构函数。n阶相关结构函数的一般形式为
式中xj为对应第j个基本事件的状态矢量;yj为第j个基本事件所取的状态值，0或1;表示在全部n阶二值矢量范围内求和;φ(y)为对应于某n阶二值矢量的函数状态值，0或1。所谓二值矢量是指各基本事件状态值的组合，由于每个基本事件可能取的状态数为2，故n阶二值矢量总数为2n。对于任意的故障树，通过调查2n个二值矢量，按上面公式得到具体的结构函数形式。
(2)顶事件发生概率的精确解。对于不十分复杂的故障树，可以精确地求解顶事件发生概率。对相关结构函数表达式两端取数学期望，则顶事件发生概率可表示为
式中pi为第i个基本事件发生的概率。这种方法很适合计算机运算，但是当故障树中包含的基本事件数目n很大时，调查2个二值矢量要耗费大量计算机时间，所以已很少采用。比较常用的方法是最小径集合或最小割集合的方法。定性分析找出最小径集合与最小割集合后，可按下式计算顶事件发生的概率：
式中Sj为前j个最小径集合中包含的基本事件不发生概率的乘积，或者按下式计算：
式中Fj为前j个最小割集合中基本事件发生概率的乘积。
(3)顶事件发生概率的近似解。当故障树非常复杂时，精确求解顶事件发生概率是很困难的。为了节省计算机内存及运算时间，可以求近似解。利用最小径集合或最小割集合的计算公式计算前n项，就可以得到相当精度的近似解。
当故障树中的基本事件统计不独立时，只能计算顶事件发生概率的上、下限。它的上限为发生概率最小的最小径集合发生概率;它的下限为发生概率最大的最小割集合的发生概率。
(4)基本事件的重要度。在相关结构理论中，把对应于割集合的二值矢量叫做割矢量，对于某基本事件，如果它发生则顶事件发生，否则顶事件也不发生的割矢量为该基本事件的临界割矢量。显然，临界割矢量数目多的基本事件对顶事件发生的影响较大。对于n阶相关结构，调查除某基本事件外的2个二值矢量中临界割矢量比例，就得到了该基本事件的结构重要度。除结构重要度之外，还有概率重要度、关键重要度等评价指标。
蒙特卡罗法利用数学模拟概率过程及随机数来确定一事件能否发生及发生概率的方法。它可以解决仅依靠经验、分析等方法难以解决的问题。在故障树的基本事件非常多的情况下，前面介绍的分析方法的应用受到了*，可以借助蒙特卡罗法解决。在应用蒙特卡罗法进行故障树分析时，把各种事件，事件间的逻辑关系及事件发生的概率分布输入到计算机中，计算机产生随机数并判断事件能否发生，按规定时间内基本事件发生情况来确定顶事件的发生概率。
