0.999…的教育中遇到的怀疑
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发布时间：2023-12-08 19:30
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时间：2024-12-14 02:16
学习数学的学生往往拒绝接受0.999...=1的等式，其原因有很多，从根本不相同的外观，到对极限概念的深度疑虑，乃至对无穷小的本性的异议。有不少因素，造成了这种混淆： 许多学生认为无穷小不等于0，并且将0.999…视为一个不定值，即该值只是一直不断无限的微微扩张变大，因此与1的差永远是无限小而不是零，因此“永远都差一点”。 学生们常常坚信“一个数能用一种且只能用一种小数的方法来表示”。看到两个明显不同的小数，表示的却是相同的实数，这似乎是一个悖论，而表面上熟悉的数1，更使这个悖论加深。 有些学生把“0.999...”（或类似的记法）理解为很长但有限的一串9，也许长度是可变的、未特别指出的。如果他们接受了有无穷多个9的事实，他们仍然可能认为“在无穷远处”“有最后的一个9”。 直觉和模棱两可的教导，都让学生觉得数列的极限是一个无限的过程，而不是一个确定的值，因为一个数列不一定就有极限。如果他们明白了数列和它的极限的差别，他们就有可能把“0.999...”理解为数列，而不是它的极限。 有些学生相信收敛级数的值最多只是一个估计，也就是 。 这些想法在标准实数系（指具有完备性的）中都是错误的，但在其它数系中则有可能是正确的（要求相应数系不具备阿基米德性，因为阿基米德性要求数系中没有非零无穷小）。这些系统要么是为一般的数学用途而发明，要么就是作为指导性的反例，使人们更好地理解0.999...。 许多这些解释都是大卫·塔尔教授发现的，他研究了造成学生们误解的教导方法的特征。他访问了他的学生以决定为什么大多数人在一开始都拒绝接受该等式，发现“学生们仍然继续把0.999...视为一个越来越接近1的数列，而不是一个定值，因为‘你没有指定它有多少位’或‘在所有小于1的小数中，它是最大的数。’”
在所有初等的证明中，用0.333...=1⁄3乘以3表面上是使学生们迫不得已接受0.999...=1的一个成功的策略。但是，面对着对第一个等式的相信以及对第二个等式的怀疑，有些学生要么就开始怀疑第一个等式，要么干脆就感到灰心丧气了。更加复杂的方法，也不是十分有效的；有些学生完全可以应用严格的定义，但当他们被一个高等数学的结果，包括0.999...所震惊时，依然退回到直觉的形象上去了。例如，有一个学习实数分析的学生，能够用最小上界的定义来证明0.333...=1⁄3，但仍然坚称0.999...<1，基于他早前对长除法的理解。其他学生也能够证明1⁄3=0.333...，但是，面对着以上的分数证明，仍然坚称“逻辑”能代替数*算。
约瑟·马祖尔讲了一个故事：有一个十分聪明的学习微积分的学生，他“对我在课堂上讲的几乎所有内容都要提出一番异议，但对他的计算器深信不疑”。他相信，九个数字就是学习数学所需要的一切，包括计算23的平方根。这位学生对0.99...=1的极限证法感到别扭，称其为“一个难以想象的无限增长过程”。
作为埃德·杜宾斯基的数学学习的“APOS理论”的一部分，杜宾斯基和他的合作者在2005年提出：任何一个学生，只要把0.999...设想为一个有限的、不确定的数串，与1的差是无穷小，那么他就“还没有对无限小数形成一个完整的过程概念”。其他对0.999...有了完整的过程概念的学生，仍不一定能把这个过程“概括”成一个“对象概念”，就像他们对1的对象概念那样，所以仍然觉得0.999...和1是不一致的。杜宾斯基还把这种概括的能力与把1⁄3视为一个独立的数，以及与把实数的集合视为一个整体联系起来。
