数学几何证明难题6
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发布时间：2023-11-10 16:06
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时间：2024-11-19 19:49
注：以下是我的个人证法，并不一定是最简单的，仅供参考
证明：如图，DE是西姆松线，连结AH并延长，交圆于点F；作射线MG，使得∠FMG=∠KAM，交直线AH于点G；作MS平行于BC交AH于S。设MP与BC交于点N，MK与AH交于L，AF与BC交于T，AQ与KM，BC分别交于X，Y。连结PB，PD，PE，AQ，KN，AK，AM，CM，CH。
∵PE⊥AB，PD⊥BC
∴PBED共圆
∴∠AED=∠BPD=90°-∠PBC=90°-(1/2)弧PC=90°-(1/2)弧BQ=90°-∠BAQ
即DE⊥AQ
又MK∥DE
∴MK⊥AQ
∵PQKM共圆
∴∠QKM+∠QPM=∠JKM+∠JNM=180°，即NJKM共圆
∴∠JKM=∠MNC，∠KMJ=∠KNJ
因此要证△KMJ是等腰三角形，或证∠JKM=∠KMJ
只需证∠MNC=∠KNJ
注意到H为垂心，因此H与F关于BC对称（这点易证，这里就不详述了）
因此又只需证KNF共线
下面应用梅涅劳斯定理来证明KNF共线，取△MLH
要证KNF共线
只需证(MK/KL)(LF/FH)(HN/NM)=1 (1)
而HN/NM=S(△CNH)/S(△CNM)=CN·(1/2)HF/(CN·ST)=(1/2)HF/ST
MK/KL=S(△AKM)/S(△AKL)=AM·AK·sin∠KAM/(AK·ALsin∠KAL)=AMsin∠KAM/(ALsin∠KAL)
代入(1)式，我们只需证(AM·LF·sin∠KAM)/(AL·ST·sin∠KAL)=2 (2)
而LF/AL=S(△LFM)/S(△LMA)=MFsin∠FMK/(AMsin∠AMK)
且∠FMK=∠KAL
代入(2)式，我们只需证(MFsin∠KAM)/(ST·sin∠AMK)=2
或证MF·KM/(ST·AK)=2 (3)
另一方面，∵∠FMG=∠KAM，∠GFM=∠MKA
∴△GFM∽△MKA
∴KM/KA=FG/FM (4)
∠G=∠AML
又注意到LXYT共圆（AQ⊥AM，AF⊥BC），AQPM共圆
∴∠AMH+∠AQP=∠AMH+∠AYN=180°，∠XLT+∠XYT=∠ALM+∠AYN=180°
∴∠AMH=∠ALM
∴∠AML=∠AHM=∠G，即△MGH是等腰三角形
于是GF=GH+HF=2(SH+HT)=2ST (5)
将(4)(5)代入(3)，即证明了(3)
这样就证明了KNF共线
于是说明了△KMJ是等腰三角形
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时间：2024-11-19 19:49
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时间：2024-11-19 19:50
