如何证明3次对称群S3与4次对称群S4同态
发布网友
发布时间：2022-05-01 13:25
共1个回答
热心网友
时间：2023-10-14 23:31
证：由于任何群只能与自己的商群同态，本题就是要证S3是S4的商群
记K4为Klien四元群，即K4={(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}
显然K4是S4的正规子群，因此S4与K4可做商群S4/K4，显然S4与S4/K4同态
由于|S4|=24，|K4|=4，(|G|表示G中元素个数)
则 | S4/K4 |=6，说明 S4/K4 是一个6阶群，而6阶群只有两种：循环群和S3，
下面只需证明S4/K4与S3同构，即可说明S4与S3同态
下面我想不出太好的办法，就验证了一下 S4/K4 不满足交换律，则 S4/K4 不可能与循环群同构，那么只能与S3同构了。
从S4/K4中取了两个无素：(12)K4，(13)K4
下面来证：(12)(13)K4≠(13)(12)K4
即需证：(132)K4≠(123)K4
下面就是纯计算了，计算结果它们不相等，于是得证。
感觉最后这个证得不太好，供你参考。追问谢谢，非常感谢。只是我要证的是 证明S4/K4与S3同构 ，我想到现正S4与S3同态，题目中也给出了克莱因四元群。不知道你有没有更好的证明方法
热心网友
时间：2023-10-14 23:31
证：由于任何群只能与自己的商群同态，本题就是要证S3是S4的商群
记K4为Klien四元群，即K4={(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}
显然K4是S4的正规子群，因此S4与K4可做商群S4/K4，显然S4与S4/K4同态
由于|S4|=24，|K4|=4，(|G|表示G中元素个数)
则 | S4/K4 |=6，说明 S4/K4 是一个6阶群，而6阶群只有两种：循环群和S3，
下面只需证明S4/K4与S3同构，即可说明S4与S3同态
下面我想不出太好的办法，就验证了一下 S4/K4 不满足交换律，则 S4/K4 不可能与循环群同构，那么只能与S3同构了。
从S4/K4中取了两个无素：(12)K4，(13)K4
下面来证：(12)(13)K4≠(13)(12)K4
即需证：(132)K4≠(123)K4
下面就是纯计算了，计算结果它们不相等，于是得证。
感觉最后这个证得不太好，供你参考。追问谢谢，非常感谢。只是我要证的是 证明S4/K4与S3同构 ，我想到现正S4与S3同态，题目中也给出了克莱因四元群。不知道你有没有更好的证明方法
热心网友
时间：2023-10-14 23:31
证：由于任何群只能与自己的商群同态，本题就是要证S3是S4的商群
记K4为Klien四元群，即K4={(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}
显然K4是S4的正规子群，因此S4与K4可做商群S4/K4，显然S4与S4/K4同态
由于|S4|=24，|K4|=4，(|G|表示G中元素个数)
则 | S4/K4 |=6，说明 S4/K4 是一个6阶群，而6阶群只有两种：循环群和S3，
下面只需证明S4/K4与S3同构，即可说明S4与S3同态
下面我想不出太好的办法，就验证了一下 S4/K4 不满足交换律，则 S4/K4 不可能与循环群同构，那么只能与S3同构了。
从S4/K4中取了两个无素：(12)K4，(13)K4
下面来证：(12)(13)K4≠(13)(12)K4
即需证：(132)K4≠(123)K4
下面就是纯计算了，计算结果它们不相等，于是得证。
感觉最后这个证得不太好，供你参考。追问谢谢，非常感谢。只是我要证的是 证明S4/K4与S3同构 ，我想到现正S4与S3同态，题目中也给出了克莱因四元群。不知道你有没有更好的证明方法
