怎么用反证法证明根号3是无理数(要写清楚过程)?

发布网友发布时间：2023-11-19 05:06

共3个回答

热心网友时间：2024-03-23 11:39

你看下图，把2换成3.

热心网友时间：2024-03-23 11:40

再给你个方法
显然3^{1/2}是p(x)=x^2-3的根. 假定3^{1/2}是有理数, 那么p(x)有有理根, 根据有理根的判定方法, p(x)的有理根一定属于{1,-1,3,-3}, 容易验证这些都不是p(x)的根, 矛盾. (如果不想验根, 可以说p(x)的有理根必然是整数, 但1<3^{1/2}<2.)

热心网友时间：2024-03-23 11:40

假设√3为有理数，则存在正整数p和q(p，q互质，p≠0，q≠0)，使得√3=p/q，两边平方可得
3=p²/q²
p²=3q²
p，q为正整数，那么p一定为3的倍数
令p=3k(k为正整数)，那么q²=3k²，p也一定为3的倍数
所以p，q都为3的倍数，与p，q互质矛盾
假设不成立
所以√3为无理数