高数，求幂级数收敛半径115

发布网友 发布时间：2023-11-07 10:23

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热心网友 时间：2024-11-29 00:54

用比值法：

lim(n->∞)|u(n+1)(x)/un(x)|=lim(n->∞)|(-1)/((n+1)*4^(n+1))*n*4^n)*x^2|=lim(n->∞)|nx^2/(4(n+1))|=x^2/4

当x^2/4<1 即|x|<2时，所给级数绝对收敛，当x^2/4>1 即|x|>2时，所给级数发散，

∴所给级数的收敛半径为2

扩展资料：

收敛半径r是一个非负的实数或无穷大，使得在 | z -a| < r时幂级数收敛，在 | z -a| > r时幂级数发散。

具体来说，当 z和 a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z- a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些 z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。

根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数满足，则：

 是正实数时，R=  ； = 0时，R=  ； =  时，R=0。

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式。或者，复分析中的收敛半径将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。 [

收敛半径可以被如下定理刻画：

一个中心为 a的幂级数  的收敛半径 R等于 a与离 a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。到 a的距离严格小于 R的所有点组成的集合称为收敛圆盘。最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。

例如：函数没有复根。它在零处的泰勒展开为：运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数  在 ±i存在奇点，其与原点0的距离是1。

数学名词。一个数自乘若干次的形式叫"幂"，如α自乘n次的幂，符号记作an。

乘幂也叫"乘方"，一个数自乘若干次的积数。

如4的3乘方又叫4*4*4

注意区别下4的三次方 三的四次方是不同的概念 （4的3次方就是4*4*4=64.3的4次方是3*3*3*3=81）

数学上指一个数自乘若干次形式～次（方次）。乘～（乘方）。

参考资料：百度百科-收敛半径

热心网友 时间：2024-11-29 00:54

题目中幂级数的收敛半径是2.

根据收敛半径 R=lim(n→∞) | an/an+1 |，R=lim(n→∞) | an/an+1 | =lim(n→∞) |4(n+1)/n | =4
因为x²的收敛半径是 4，所以x的收敛半径是2，得幂级数的收敛半径是2。

扩展资料

幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

收敛半径r是一个非负的实数或无穷大，使得在 | z -a| < r时幂级数收敛，在 | z -a| > r时幂级数发散。

具体来说，当 z和 a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z- a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些 z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。

参考资料百度百科-收敛半径

热心网友 时间：2024-11-29 00:55

热心网友 时间：2024-11-29 00:55

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