矩阵A平方=ATA,则证明AT=A,怎么证?
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发布时间：2022-05-01 21:17
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时间：2022-06-30 17:51
有些资料上用^T表示用小型大写字母T作为右上角标，表示矩阵的转置。我们使用另一种标记，用'表示矩阵转置。
题二：AA=A‘A，求证A'=A
证：
引理1：对方阵A的特征多项式为f(λ)=|λE-A|，则|A|为f(λ)=0的各个根的乘积。
证引理1：f(0)=|0*E-A|=|-A|=(-1)^n*|A|，故|A|=(-1)^n*f(0).
由一元n次方程的韦达定理，此即为各个根的乘积。
注：f(λ)=0的根，叫做方阵A的特征根，或特征值。
引理2：方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ，f(A)是关于A的多项式，则：
f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).
证引理2：设A的特征值k对应于特征向量ξ，即有Aξ=kξ
故AAξ=kAξ=k*kξ，递推得 A^nξ=k^nξ
同理 f(A)ξ=f(k)ξ。得征。
引理3：对于任意方阵A，存在k，使得B=A+kE为可逆方阵。这里E为单位阵。
证引理3：设B=A+kE,并设A的最小特征值为t,
由引理2，
易见B的特征值为t+k。我们可取t+k>0，即k>-t，从而使得B的所有特征值>0。
于是由引理1，|B|>0。从而B为可逆方阵。
以下证明题二：AA=A‘A，求证A'=A
证题二：依引理3，可取适当k值，使得B=A+kE为可逆方阵。
由已知有AA=A'A, 故
(B-kE)(B-kE)=(B-kE)'(B-kE)=(B'-kE)(B-kE)，即
BB-kB-kB+kkE=B'B-kB-kB'+kkE, 即BB-kB=B'B-kB'
又由已知，(AA)'=(A'A)'，即A'A'=A'A,同上理得
B'B'-kB'=B'B-kB
两式比较得
于是BB-B'B=B'B-B'B'
即(B-B')B=B'(B-B')
哎呀，白忙活了未必？
以上过程供大家摘抄引用。谢谢。
