椭圆的面积公式是怎样得到的?
发布网友
发布时间：2022-05-01 21:15
共2个回答
热心网友
时间：2022-06-23 14:17
把方程转化一下：y=|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)| sqr=开平方
先看普通情况——两轴焦点在0点处的椭圆的面积推导：
因为两轴焦点在0点，所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分，分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域，所以只要求出一个象限间所夹的面积，然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积。拣最简单的来吧，先求第一象限所夹部分的面积。
根据定积分的定义及图形的性质，我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形，整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限。现在应用元素法，在图形中任找取一点，然后再取距这点距离无限近的另一个点，这两点间的距离记做dx，然后取以dx为底边，两点分别对应的y为高，与曲线相交够成的封闭的小矩形的面积s，显然，s=y*dx
现在求s的定积分，即大图形的面积S，S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y关于x的定积分
步骤：（第一象限全取正，后面不做说明）
S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx
设 x^2/a^2=sin^2t 则
∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圆周率
∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt
cos^2t=1-sin^2t
∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt
这里需要用到一个公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx
证明如下 sinx=cos(pi/2-x) 设u=pi/2-x 则
∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)=∫[0:pi/2]f(sinx)dx
则∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*（pi/2）-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt
那么 2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*（pi/2)
则S=a*b*(pi/4)
椭圆面积S_c=a*b*pi
可见椭圆面积与坐标无关，所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置，其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率
热心网友
时间：2022-06-23 14:17
π是圆周率，a是椭圆的半长轴，b是椭圆的半短轴。当椭圆的长轴为x轴时，它的标准方程是a方分之x方加b方分之y方等于1；当椭圆长轴为y轴时，它的标准方程是b方分之x方加a方分之y方等于1。
或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长
