初中数学竞赛-圆(貌似极其简单的那种)

发布网友 发布时间：2022-04-30 16:15

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热心网友 时间：2022-06-27 05:53

证明：过圆心O分别所OG垂直CF于G，OH垂直DE于H，连接OP,OQ,,OM ,GM ,QM
由垂径定理得：
CG=FG=1/2CF
EH=HD=1/2DC
角OGP=90度
角OHQ=90度
因为角F=角D
角C=角E
所以三角形CMF和三角形EMD相似（AA)
所以CM/CF=EM/DE
所以CM/2CG=EM/2EH
所以CM/CG=EM/EH
因为角C=角E
所以三角形CGM和三角形EHM相似
所以角CM=角EHM
因为点M是弦AB的中点
所以OM垂直AB于M
所以角OMB=角OMA=90度
所以角OMA=角OGC=90度
所以点P,G,O,M四点共圆
所以角CGM=角POM
因为角OMA=角OHQ=90度
所以O,H,Q,M四点共圆
所以角EHM=角QOM
所以角POM=角QOM
因为角OMA=角OMB=90度
OM=OM
所以三角形OPM和三角形OQM全等（AAS)
所以PM=QM

热心网友 时间：2022-06-27 05:53

请看我的“百度文库”http://wenku.baidu.com/view/9b4853a1284ac850ad02428a.html

热心网友 时间：2022-06-27 05:54

请百度“蝴蝶定理”，有详细初等数学证明。

热心网友 时间：2022-06-27 05:54

蝴蝶定理：如图1：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ． 证明：如图2，连接OA、OP、OQ，过O点作OX⊥CD于X，OY⊥EB于Y,连接AY、AX。 因为 OA⊥MN，由垂径定理可知：CX=XD,EY=BY. 在四边形OXPA中，∠OAP=∠OXP=90°,于是有O、X、P、A四点共圆，从而有∠AOP=∠AXC. (Ⅰ) 同理可得：A、O、Y、Q四点共圆， 有∠AOQ=∠AYE.(Ⅱ) 由∠C=∠E,∠D=∠B，证得：△ADC∽△ABE， 有EBAECDAC=，根据CX=XD,EY=BY，有EQAECXAC22=， 于是得出EQAECXAC=，结合∠C=∠E， 证得△AXC∽△AQE,有∠AXC=∠AYE,(Ⅲ) 综合(Ⅰ) 、(Ⅱ)、 (Ⅲ)，得出 ∠AOP=∠AOQ.① 由OA⊥MN，得知：∠OAP=∠OAQ=90° ② 加上 OA=OA ③ 由①、②、③可以证得△OAP≌△OAQ, 由全等三角形的性质得出AP＝AQ.