微分和导数是什么关系？
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发布时间：2023-11-11 01:21
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时间：2024-11-23 20:18
一元函数中可导与可微等价。导数是函数图像在某一点处的斜率，是纵坐标增量（Δy）和横坐标增量（Δx）在Δx-->0时的比值。
微分的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。
扩展资料
微分概念在整个微积分体系中占有重要地位。理解微分概念是微积分教育的重要环节。在历史上，微分的定义经历了很长时间的发展。
牛顿、莱布尼兹是微积分的主要创建人，他们的微积分可以称为第一代微积分，第一代微积分的方法是没有问题的，而且获得了巨大的成功，但是对微分的定义（即微分的本质到底是什么）的说明不够清楚。
以柯西、维尔斯特拉斯等为代表的数学家在极限理论的基础上建立了微积分原理，可以称之为第二代微积分，并构成当前教学中微积分教材的主要内容。
第二代微积分与第一代微积分在具体计算方法上基本相同，第二代微积分表面上解决了微分定义的说明，但是概念和推理繁琐迂回。
参考资料来源：百度百科-微分
参考资料来源：百度百科-导数
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时间：2024-11-23 20:19
微分是一种方法，就是取对象的微小变量或微元来处理数学问题，而导数是微元式的极限，所以数学上分别用符号⊿x和dx区分两者。
导数的定义式很好的说明了两者的关系，例如df/dx=lim{⊿f/⊿x}=lim{(f(x+⊿x)-f(x))/⊿x} 表达式⊿f/⊿x，就是对函数f(x)在x处取微元⊿x和⊿f，来计算斜率，而当⊿x趋近于0时，⊿f/⊿x的极限就定义为导数。
微分应用：
1、我们知道，曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的斜率。
2、假设函数y=f(x)的图象为曲线，且曲线上有一点(x1，y1)，那么根据切线斜率的求法，就可以得出该点切线的斜率m：m=dy/dx在(x1，y1)的值，所以该切线的方程式为：y-y1=m(x-x1)。由于法线与切线互相垂直，法线的斜率为-1/m且它的方程式为：y-y1=(-1/m)(x-x1)
3、增函数与减函数。
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时间：2024-11-23 20:19
(2)几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率,微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量,而△y则是沿曲线方向上纵坐标的增量.可参考任何一本教材的图形理解.
(3)联系：导数是微分之商（微商）y' =dy/dx,微分dy=f'(x)dx,这里公式本身也体现了它们的区别.
(4)关系：对一元函数而言,可导必可微,可微必可导.
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时间：2024-11-23 20:20
从数学符号的意义上来说，dy与Δy是不同的，dx与Δx也是不同的。一般地，Δ~代表做“差(分)”运算之后的结果，是一个具体精确的表达。而d~代表做“微分”运算后的结果，里面包含有取某种极限之后的结果，是更抽象的表达。差分仅仅是直观的减法运算，而微分则包含有更为深刻的极限思想在里面。甚至也可以把微分认为是差分的极限。
我们定义函数y=F(x)
Δy=AΔx+o(Δx)来自于差分表达式:Δy=y1-y0=F(x1)-F(x0)，其中x1-x0=Δx.
右边F(x1)-F(x0)相当于做了一个一阶展开(如果你学过taylor展开，可以联系起来考虑)，得到线性部分AΔx和残差项o(Δx)，o(Δx)指的是Δx的高阶无穷小:如果Δx是一个具体的数，那么o(Δx)就是一个具体的数;如果Δx趋向于零，那么o(Δx)比Δx“更快地”趋向于零。A是一个与x0有关而与Δx无关的量。
dy=f(x)dx就是把之前式子里Δx的高阶无穷小o(Δx)拿掉不考虑，但是这里舍弃的o(Δx)并不是等于零的，而且一个关于Δx的函数，比如当取Δx收敛到零的极限时就有limo(Δx)=0。所以你可以把dy=f(x)dx看作是Δy=AΔx+o(Δx)取某种极限后的结果。
形式上我们可以定义dy=f(x)dx为一个微分表达式，是一个相对抽象的结果。但其实质是由具体的差分形式Δy=y1-y0=F(x1)-F(x0)演化而来的。或者说dy是Δy在某种极限意义下的近似。
这里相等的只有一阶展开系数A与导数f(x)，注意把上面固定的x0看做x即可。
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时间：2024-11-23 20:21
