和角公式的证明

发布网友 发布时间：2022-04-30 15:15

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热心网友 时间：2022-06-26 02:39

法一：向量证明
在平面直角坐标系中，以x轴为始边，作角α，角β，分别记其终边单位向量为a, b，则a=(cosα, sinα), b=(cosβ, sinβ)
∵a·b=|a||b|cos<a,b>
且a·b=cosα·cosβ+sinα·sinβ
且|a|=|b|=1
∴cos<a,b>=cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
用-β代替β，得cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
由诱导公式6，sin(α-β)=-{cos【（α-β）+π/2】}=-{cos【（α+π/2）-β】}
=-【cos（α+π/2）·cosβ+sin（α+π/2）·sinβ】
=-【-sinα·cosβ+cosα·sinβ】
=sinα·cosβ-cosα·sinβ
同理得 sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ
又tan(α-β) = sin(α-β)/cos(α-β) = （sinα·cosβ-cosα·sinβ）/（cosα·cosβ+sinα·sinβ）
同除cosα·cosβ,得tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
同理，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
证毕
法二：几何证明
详细见右图，用-α代替α，由所得差角公式
cos(α-β)=cosβcosα+sinβsinα
得：cos(α+β)=cosβcosα-sinβsinα
OM=OB+BM
=OB+CP
=|OA|cosα+|AP|sinα←（此处的sinα是指sin∠CAP，根据三角关系可以推出∠CAP=∠AOM=）
=cosβcosα+sinβsinα

热心网友 时间：2022-06-26 02:40

如图
∵AB⊥CD
∴∠ADC=∠BDC=90°
∵∠ACD=α∠BCD=β AC=1
∴AD=sinα·AC=sinα
CD=cosα·AC=cosα
BD=tanβ·CD=sinβ·cosα/cosβ
BC=CD/cosβ=cosα/cosβ
S△ABC=1/2·AB·CD=1/2·AC·BE
∴BE=AB·CD/AC
=CD·(AD+BD)
=cosα(sinα+sinβ·cosα/cosβ)
sin(α+β)=BE/BC
=(cosα(sinα+sinβ·cosα/cosβ))/(cosα/cosβ)
=(sinα+sinβ·cosα/cosβ)·cosβ
=sinα·cosβ+sinβ·cosα