发布网友 发布时间:2023-10-20 20:02
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热心网友 时间:2023-11-13 22:03
类型1、下限为常数,上限为函数类型
第一步:对于这种类型只需将上限函数代入到积分的原函数中去,再对上限函数进行求导。
第二步:对下面的函数进行求导,只需将“X”替换为“t”再进求导即可。
类型2、下限为函数,上限为常数类型
第一步:基本类型如下图,需要添加“负号”将下限的函数转换到上限,再按第一种类型进行求导即可。
第二步:题例如下,添加“负号”转换为变上限积分函数求导即可。
类型3、上下限均为函数类型
第一步:这种情况需要将其分为两个定积分来求导,因为原函数是连续可导的,所以首先通过“0”将区间[h(x),g(x)]分为[h(x),0]和[0,g(x)]两个区间来进行求导。
第二步:然后将后面的变下限积分求导转换为变上限积分求导。
第三步:接着对两个区间的变上限积分分别求导即可得到下面公式。
第四步:对于这种题,可以直接套公式,也可以自己推导。
总结
对于变限积分求导,通常将其转换为变上限积分求导,求导时,将上限的变量代入到被积函数中去,再对变量求导即可。
扩展资料
众所周知,微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是函数的微小的增量,函数在某一点的导数值乘以自变量以这点为起点的增量,得到的就是函数的微分;它近似等于函数的实际增量(这里主要是针对一元函数而言)。
而积分是已知一函数的导数,求这一函数。所以,微分与积分互为逆运算。
实际上,积分还可以分为两部分。第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C(C是常数)的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x)。
因为F(x)+C的导数也是f(x),C是任意的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分。
用公式表示是:f'(x)=g(x)->∫g(x)dx=f(x)+c
热心网友 时间:2023-11-13 22:04
F(x) = ∫(a,x) xf(t) dt
F(x) = x∫(a,x) f(t) dt
F'(x) = ∫(a,x) f(t) dt + x * [x' * f(x) - a' * f(a)]
= (1/x)F(x) + x * [1 * f(x) - 0 * f(a)],下限a的导数是0,所以整体都会变为0
= (1/x)F(x) + xf(x)
求导注意事项:
(1)区间a可为-∞,b可为+∞;
(2)此定理是变限积分的最重要的性质,掌握此定理需要注意两点:第一,下限为常数,上限为参变量x(不是含x的其他表达式);第二,被积函数f(x)中只含积分变量t,不含参变量x。
原函数存在定理
若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
热心网友 时间:2023-11-13 22:04
上限为a(x),下限为b(x)y=(a(x),b(x))∫f(t)dt已知f(x)原函数是F(x),F'(x)=f(x)(观察y=(a,b)∫f(t)dt=F(a)-F(b),括号里跟着代入就行了)所以y=(a(x),b(x))∫f(t)dt=F[a(x)]-F[b(x)]两边求导y'=(F[a(x)])'-(F[b(x)])'=F'[a(x)]a'(x)-F'[b(x)]b'(x)
扩展资料:
如果上限x在区间[a,b]上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以它在[a,b]上定义了一个函数,这就是积分变限函数。
积分变限函数是一类重要的函数,它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中.事实上,积分变限函数是产生新函数的重要工具,尤其是它能表示非初等函数,同时能将积分学问题转化为微分学问题。积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外,在许多场合都有重要的应用。
连续性
【定理一】若函数f(x)在区间[a,b]上可积,则积分变上限函数在[a,b]上连续。
导数定理
【定理二】如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分变上限函数在[a,b]上具有导数,并且导数为:
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,X0为[a,b]内任一点,则变动上积限积分满足:
注:
(1)区间a可为-∞,b可为+∞;
(2)此定理是变限积分的最重要的性质,掌握此定理需要注意两点:第一,下限为常数,上限为参变量x(不是含x的其他表达式);第二,被积函数f(x)中只含积分变量t,不含参变量x。
原函数存在定理
若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
热心网友 时间:2023-11-13 22:05
上限为a(x),下限为b(x)
y=(a(x),b(x))∫f(t)dt
已知f(x)原函数是F(x),F'(x)=f(x)
(观察y=(a,b)∫f(t)dt=F(a)-F(b),括号里跟着代入就行了)
所以
y=(a(x),b(x))∫f(t)dt=F[a(x)]-F[b(x)]
两边求导
y'=(F[a(x)])'-(F[b(x)])'=F'[a(x)]a'(x)-F'[b(x)]b'(x)
积分变限函数是一类重要的函数,它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中.事实上,积分变限函数是产生新函数的重要工具,尤其是它能表示非初等函数,同时能将积分学问题转化为微分学问题。
积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外,在许多场合都有重要的应用。
热心网友 时间:2023-11-13 22:06
请见下图