数学 常见的各种求导类型
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发布时间：2022-04-20 09:48
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时间：2023-07-04 17:03
1、导数的定义: 当自变量的增量Δx＝x－x0，Δx→0时函数增量Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率). 函数y＝f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0〔x0，f（x0）〕 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性)的法则：设y＝f(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f'（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。如果在（a，b）内，f'（x）<0,则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f'（x）=0时，y＝f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值求导数的步骤: 求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：
① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
② 求平均变化率
③ 取极限，得导数。
导数公式：
① C'=0(C为常数函数)；
② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数
③ (sinx)' = cosx；
(cosx)' = - sinx；
(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2
-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2
(secx)'=tanx·secx
(cscx)'=-cotx·cscx
(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2
(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2
(arctanx)'=1/(1+x^2)
(arccotx)'=-1/(1+x^2)
(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)
(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)
④ (sin(hx))'=hcoshx
(cos(hx))'=-hsinhx
(tan(hx))'=1/(cos(hx))^2=(sec(hx))^2
(cot(hx))'=-1/(sin(hx))^2=-(csc(hx))^2
(sec(hx))'=-tan(hx)·sec(hx )
(csc(hx))'=-cot(hx)·csc(hx )
(arsin(hx))'=1/(x^2+1)^1/2
(arcos(hx))'=1/(x^2-1)^1/2
(artan(hx))'=1/(x^2-1) (|x|<1)
(arcot(hx))'=1/(x^2-1) (|x|>1)
(arsec(hx))'=1/(x(1-x^2)^1/2)
(arcsc(hx))'=1/(x(1+x^2)^1/2)
⑤ (e^x)' = e^x；
(a^x)' = a^xlna （ln为自然对数）
(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）
(log(ax))' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1)
(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)
(1/x)'=-x^(-2)
导数的应用:
1．函数的单调性
(1)利用导数的符号判断函数的增减性 利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想． 一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)＞0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)＜0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减． 如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常数函数． 注意：在某个区间内，f'(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。
(2)求函数单调区间的步骤（1.定义最基础求法2.复合函数单调性) ①确定f(x)的定义域； ②求导数； ③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)＞0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数．
2．函数的极值
(1)函数的极值的判定 ①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点； ②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值.
3．求函数极值的步骤
①确定函数的定义域； ②求导数； ③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根； ④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
4．函数的最值
(1)如果f(x)在〔a,b〕上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在〔a，b〕的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念． (2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
5．生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题．
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时间：2023-07-04 17:03
1、导数的定义:
当自变量的增量Δx＝x－x0，Δx→0时函数增量Δy＝f（x）－
f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率).
函数y＝f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0〔x0，f（x0）〕
点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性)的法则：设y＝f(x
)在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f'（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。如果在（a，b）内，f'（x）<0,则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f'（x）=0时，y＝f(x
)有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值求导数的步骤:
求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：
①
求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
②
求平均变化率
③
取极限，得导数。
导数公式：
①
C'=0(C为常数函数)；
②
(x^n)'=
nx^(n-1)
(n∈Q*)；熟记1/X的导数
③
(sinx)'
=
cosx；
(cosx)'
=
-
sinx；
(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2
-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2
(secx)'=tanx·secx
(cscx)'=-cotx·cscx
(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2
(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2
(arctanx)'=1/(1+x^2)
(arccotx)'=-1/(1+x^2)
(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)
(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)
④
(sin(hx))'=hcoshx
(cos(hx))'=-hsinhx
(tan(hx))'=1/(cos(hx))^2=(sec(hx))^2
(cot(hx))'=-1/(sin(hx))^2=-(csc(hx))^2
(sec(hx))'=-tan(hx)·sec(hx
)
(csc(hx))'=-cot(hx)·csc(hx
)
(arsin(hx))'=1/(x^2+1)^1/2
(arcos(hx))'=1/(x^2-1)^1/2
(artan(hx))'=1/(x^2-1)
(|x|<1)
(arcot(hx))'=1/(x^2-1)
(|x|>1)
(arsec(hx))'=1/(x(1-x^2)^1/2)
(arcsc(hx))'=1/(x(1+x^2)^1/2)
⑤
(e^x)'
=
e^x；
(a^x)'
=
a^xlna
（ln为自然对数）
(Inx)'
=
1/x（ln为自然对数）
(log(ax))'
=(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1)
(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)
(1/x)'=-x^(-2)
导数的应用:
1．函数的单调性
(1)利用导数的符号判断函数的增减性
利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．
一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)＞0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)＜0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减．
如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常数函数．
注意：在某个区间内，f'(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。
(2)求函数单调区间的步骤（1.定义最基础求法2.复合函数单调性)
①确定f(x)的定义域；
②求导数；
③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)＞0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数．
2．函数的极值
(1)函数的极值的判定
①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点；
②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值.
3．求函数极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数；
③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根；
④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
4．函数的最值
(1)如果f(x)在〔a,b〕上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在〔a，b〕的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念．
(2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
5．生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题．
