两个同阶群,分别是循环群和非循环群,是否一定不同构?证明之

发布网友发布时间：2022-04-30 01:31

共3个回答

热心网友时间：2022-06-28 02:18

基本上所有的抽象代数的书上都会有这条定理：如果群g是交换的，并且阶为p*q（p，q为素数），那么g一定是循环群。
证明一般用的是柯西定理或者希洛定理。以下证明用到柯西定理。
柯西定理：若g是一个有限群且p是一个可整除g的阶（g的元素数目）的质数，则g会有一个p阶的元素。
在本题中15=3*5，所以群中一定有一个三阶的元素a和一个5阶的元素b。那么c=a*b一定是一个15阶的元素。由此可证该群一定是由c生成的循环群。
楼主如果对细节还有问题的话，可以给我留言。

热心网友时间：2022-06-28 02:18

是的，如果一个群B跟一个同阶的循环群A同构，这个群也一定是循环群。
设A={a,a^2,a^3...a^n-1,e},
B跟A同构，设B中跟a,a^2...对应的元素分别为{b1,b2...b_(n-1),e}
那么根据B跟A同构容易证明b2=b1＊b1，b3=b1＊b2...bk=bk-1＊b1，所以B也是循环群

热心网友时间：2022-06-28 02:19

设G为n阶循环群
<a>,
H为n阶群,
f:G->H为同构
则f把
G中的所有元素
e,
a,
a^2,
...,
a^(n-1)
映为H中的
e,
f(a),
f(a)^2,
...,
f(a)^(n-1)
n个元素.
由于H是n阶的,
所以{
e,
f(a),
f(a)^2,
...,
f(a)^(n-1)
}就是H的全部元素.
于是H也是循环群,
由元素f(a)生成
因此与循环群同构的群一定是循环群;
换句话说,
非循环群和循环群一定不同构.