矩阵的特征多项式怎么求548
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发布时间：2023-10-17 05:46
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时间：2024-12-03 20:14
特征矩阵如上，求其行列式，即特征多项式。
按第1列展开，得到2阶行列式，然后按对角线法则展开，得到：
(λ-1)[(λ+1)λ-1]
=(λ-1)(λ^2+λ-1)
=(λ-1)[(λ^2+λ+1)-2]
=(λ^3-1)-2(λ-1)
=λ^3-2λ+1
对于求解线性递推数列，我们还经常使用生成函数法，而对于常系数线性递推数列，其生成函数是一个有理分式，其分母即特征多项式。
为n*n的矩阵A的特征多项式为|A-λE|，其中E为n*n的单位矩阵。
扩展资料：
特征多项式解法：
1、把|λE-A|的各行（或各列）加起来，若相等，则把相等的部分提出来（一次因式）后，剩下的部分是二次多项式，肯定可以分解因式。
2、把|λE-A|的某一行（或某一列）中不含λ的两个元素之一化为零，往往会出现公因子，提出来，剩下的又是一二次多项式。
3、试根法分解因式。
对布于任何交换环上的方阵都能定义特征多项式。要理解特征多项式，首先需要了解一下特征值与特征向量，这些都是联系在一起的：
设A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零列向量x使得关系式Ax=λx成立，那么，这样的数λ就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值λ的特征向量。
参考资料来源：百度百科——特征多项式
热心网友
时间：2024-12-03 20:15
因为对称多项式一定有n个根（重根按重数算）故可将特征多项式设为。
|λE-A|==(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn)
这个里面，较易求出的有λ^n,λ^(n-1),以及常数项这三个的系数，至于其他的并不具备代表性一般不做研究，只有特殊场合才会偶尔考虑。
λ^n左边右边的系数显然都为1，（主要看左边，右边实际上是应为左边去了1，才取1的），注意到左边的行列式中只有(λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)这个加项中才有λ^n，故系数为1
λ^(n-1)的系数，注意左边(λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)这个加项中才有λ^(n-1)，因为行列式定义式中每个加项都是不同行不同列元素的乘积，少了一个(λ-aii)就必须还要少一个，那么其他的加项最多只有n-2次，注意到他λ^(n-1)的系数为a11+a22+...+ann（这个称为矩阵的迹，附带说下，只要相似矩阵迹相同，无论是否可对角化），接下来，看右边，右边比较好看显然λ^(n-1)的系数为所有特征值的和。
这就有个很重要的结论，矩阵的迹等于所有特征值的和（这个依赖他有n个特征值）
还有就是常数项了，这个也比较简单，两边令λ=0结果就是常数项了。
易得另一个重要结论，矩阵的行列式等于所欲特征值的乘积（这个也依赖他有n个特征值）
热心网友
时间：2024-12-03 20:15
特征多项式：n级矩阵A的特征多项式就是λE-A的行列式，即|λE-A|，这里E指n级单位矩阵
特征值：令|λE-A|=0，解出λ的值即为特征值。求解的时候一般通过行列变换，让一行或一列里有只有一个不为0，再按不为0的那个展开，可以避免得到高次多项式，不容易因式分解。
特征向量：将特征值λ的取值代回λE-A，求解使(λE-A)T=0的T(T是n×1的矩阵)，就是求解非齐次线性方程组。方法一般是将λ代入后，对矩阵(λE-A)初等行变化，化为简单的阶梯型矩阵，n-(λE-A)的秩就是自由变量的个数，再将自由变量令为线性无关的向量代入即可。n级矩阵有n个特征向量。
