空间解析几何问题1

发布网友发布时间：2023-10-23 14:37

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热心网友时间：2024-12-13 06:36

A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(X,Y,Z)
CA=(x1-X,y1-Y,z1-Z)，CB=(x2-Z,y2-Y,z2-Z)
向量CA与向量CB的外积的模等于三角形ABC的面积的两倍，即
||－－i－－j－－k－||
||(x1-X)(y1-Y)(z1-Z)||＝2S(ABC)
||(x2-X)(y2-Y)(z2-Z)||

又S(ABC)=(1/2)×AB×R，R是C到直线AB的距离
AB=根号[(x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)²]

所以有点C到AB的距离可表示为：
||－－i－－j－－k－||
||(x1-X)(y1-Y)(z1-Z)||÷根号[(x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)²]=R
||(x2-X)(y2-Y)(z2-Z)||

上面的式子既是空间点到直线的距离公式，也是空间圆柱面的方程

符号说明：
（1）“－”表示空格
（2）内层的行列式是计算CA与CB的外积；外层的绝对值符号是对行列式的值(向量外积仍是向量)取模。

热心网友时间：2024-12-13 06:36

1.
这个公式我也没有学过
不过，我想，你可以先根据圆柱面建立一个新的坐标系e2,在e2中写出方程，然后，根据两个坐标系的单位向量(基)，找出矩阵P，使得P*e2*P'=e1，再把x,y,z变换到原坐标系中来，其实就是利用二次型进行转换，这个你肯定学过

不过，这不一定是个好方法，可能有公式，你自己查查吧

2.
实际上，点到直线的距离，可以利用平面的法向量来求
，过(x,y,z)作平面使平面与直线垂直，交点为Q，点P(x,y,z)到直线的距离就是PQ，求出Q坐标即可
平面的法向量为直线的方向向量(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
且过点(x,y,z),平面方程就有了，Q在直线上，Q在平面内
利用x=x0+at,y=y0+bt,z=z0+ct的参数形式，就可以求出Q了，这样PQ就出来了

我只是提供一些想法，仅供参考！